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一、分析计算题

1． 证明：秩等于r 的对称矩阵可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和.

【答案】设A 是一个秩为r 的n 级对称矩阵，则有可逆矩阵C 使

其中1的个数等于A 的秩. 用表示对角线上第i 个元素为1, 其余地方都为0的n 级矩阵，则

因为因此

2． 设

【答案】

应用辗转相除法可得

所以f （x ）有重因式. 又

所以f （x ）的不可约因式只有

考虑到

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的秩等于1，而为可逆矩阵，所以上式中的

的秩等于1，而且

是对称矩阵. 因此A 可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和. 判断

是否有重因式，并求

的标准分解式.

可知的4

重因

式. 因此，

3． 设A 、B 为n 阶伴侣阵，

【答案】因当当

即时，

所以时，取

又

证明存在多项式

故

为A 的特征多项式即可.

使

的标准分解式是

（1）如果B 的特征值不全为0, 则存在可逆阵T , 使

由因此有

设

的最小多项式为为

的常数项，则

故

（2）如果B 的特征值全为0，由于存在可逆阵T ，使

这里

由

可设

由令

得

则由

得

又

故

可得

这里为

阶可逆矩阵.

的常数项不为〇. 取

由于可逆，因而

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令

取

从而

得到一个非齐次线性方程组，其秩等于方程个数，因而有解，从而找到

4． 设

是两两互异的数，证明如下方程组有唯一解，并求它的解

.

使

【答案】方程组的系数行列式

故方程组有唯一解. 设方程组的唯一解为由（3-14）知

令多项式

由韦达定理，得

5． 设A ，B 是数域K 上的n 阶方阵，X 是未知量方程组

和

分别有1，m 个线性无关的解向量，这里

至少有那么和这里

分别是有

个线性无关的解向量； 必有非零解；

无公共的非零解向量，且

和

的解向量.

而

个线性无关的解向量. 故所证结论成立.

因此齐次

的解空间分别为和

贝U

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所构成的

矩阵. 已知齐次线性

（1）方程组（2）如果（3）如果表示成

那么中任一向量都可惟一地

【答案】（1）由题设，所以另一方面，方程组

（2

）因

方程组

（3）设

和所以必有非零解.

据题设，，所

以与的和是直和，故