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一、分析计算题

1

．

设

4

维

向

量

组

问a 为何值时

，

线性相关？当

大无关组线性表示.

【答案】记

则

于是a=0或a=-10时，当a=0时，

当

为

线性相关.

的一个极大线性无关组，且

线性相关时，求其一个极大无关组，并将其余向量用该极

时，对A 施以初等行变换，有

由于

为

2． 设

【答案】因为

的一个极大无关组，且

的一个极大无关组，且

证明：

故

3． 求一个n 次方程使

【答案】

且对V 中任意向量

均有

4． 设T 是欧氏空间V 的一个变换. 证明：若

则T 是V 的一个线性变换. 【答案】由

及（8）得

由此及内积性质可得

从而

同理，

5． 线性空间件是存在

【答案】设

（闭区间

上全体实连续函数）内函数

可逆.

故T 是V 的线性变换.

线性无关的充要条

时结论

使n 阶方阵

（在实数域上）线性无关：

可逆，对n 用数学归纳法，当

使

显然成立，假定n=k时结论成立，即存在

可逆，现在令

按最后一列展开，设为

其中

•从 而由（3）知，

阶方阵

使

则对任

意

即

6． 欧氏空间

证明： （1）（2）如果

是反对称线性变换

V

分别代入上式

得因此.

线性无关.

称为反对称的，如果对任意

的

其

中

但A 可逆，故

可逆，得证.

反之，设A 可逆且有实数

于是

（因为

，

从而存在

线性无关）

使

的线性变

换

为反对称的充分必要条件是，在一组标准正交基下的矩阵为反对称的；

也是.

的不变子空间，则

【答案】（1）设于是

是V 的一组标准正交基，再设

所以即

为反对称变换的充分必要条件是

在标准正交基下的矩阵是反对称的.

对于

中任一向量都有

故

于是

（2）设因为

是

的不变子空间，所以

也是

7． 设

且证明秩

的不变子空间. 为

实矩阵，已知

其次，

考虑

【答案】把所有各列都加到第一列上去，并注意到①式，那么

的代数余子式

故在行列式②中满足

即主对角严格占优.

8． 用初等对称多项式表示

【答案】解法1:

的首项为

它对应指数组

因对称多项式

所以

解法2:根据式方幂之

积，列表如下：

表

的首项

写出所有不先于首项的3次指数组对应的初等对称多项

令

即秩

从而秩