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一、证明题

1． 设函数f （u ）具有一阶连续导数, 证明对任何光滑封闭曲线L , 有

【答案】令P=f （xy ） y , Q=f （xy ）x , 则有

故由格林公式可得

2． 已知

证明:

则

内严格单调递增.

因此

则

所以又

在

内严格单调递增.

此即

3． 设

, 在

上有连续导数, 且

当x 充分大时, 有又由

知

在

在

内有且仅有一个零点.

上严格单调递增, 所以

, 所以由连续函数的零点存在定理知, 存在

, 试证:

在

内仅有一个零点.

此即

【答案】令所以又再令

在

【答案】对任意

4． 叙述（1）有限覆盖定理和（2）魏尔斯特拉斯（Weierstrass ）定理（致密性定理）, 并用（1）证明（2）.

【答案】⑴有限覆盖定理:

若

个开区间来覆盖[a, b].

（2） Weierstrass 定理（致密性定理）:有界数列必存在收敛子列. 反证法. 设数列则对任意的由此可知, 存在显然

为

在

不是

若

中无收敛子列,

中的有限项.

中存在有限个开区间

根据项, 这与

的构造性质可知, 中,

中也只含有

中的有限项, 从而[a, b]中也只含有

中的有限

中任意一子列的极限.

中至多只含有

为闭区间

的一个（无限）开覆盖,

则在

中必存在有限

于是得一满足上述条件的开区间族

的一个开覆盖, 由有限覆盖定理,

矛盾, 所以结论得证.

二、计算题

5． 设x , y

,

令求驻点：

,

求

的最大最小值.

【答案】（1）先考查内部情形，利用求条件极值的拉格朗日乘数法

显然要有

或

当

时，由

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此时无解； 当

时，由

，sin xcosy+cosxsiny = sinz

在驻点处的值：

虽然

是不定矩阵，但不能否定内部达极值.

注

：矩阵

HL 正定、负定只是条件极值的充分条件，而非取到条件极值的必要条件. （2）再讨论边界上的几种情况： 1）32）

3

）

（3）综合以上所得，

值为最小值为

1.

6． 设是开集f :

则对一切【答案】因为

由此可知

由条件

, 知

可逆, 又

于是有

在

上的最大

为可微函数, 且对任何

, 试证:若

.