2018年中南大学数学与统计学院883高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
则由基A.
是3维向量空间
到基
的一组基,
的过渡矩阵为（ ）.
B.
C.
D. 【答案】A
2． 在n 维向量空间取出两个向量组, 它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
中选三个向量组
，从而否定A , 若选
若选故选B.
, ，从而否定C ,
3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似
D. 不合同不相似
【答案】A
则
A 与B （ ）.
【解析】因为
A ，
B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B 合同.
4
． 设
A 为3
阶矩阵，将
A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第
2行与第3行得单位矩阵. 记
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设知，所以
5．
设
则3条直线
①
（其中A. B.
线性相关 线性无关
使
, 故再由是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式
则A=（
）.
）交于一点的充要条件是（ ）
C. 秩D.
线性相关，
【答案】D 【解析】令其中
秩由秩从而可由
. ，可知
线性无关 则方程组①可改写为
②
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
可知1
线性相关，即
可由
线性表出，
线性表出.
线性相关，故选D.
方程组①有惟一解
方程组②有惟一解
二、分析计算题
6． 判断下列两个多项式有无重因式？再求其在有理数域Q 上的标准分解式：
【答案】即
故
用辗转相除法可得
有重因式. 又因为
故而
是
.
与
是
的仅有的不可约因式. 再利用（综合）除法易知，
在Q 上的标准分解式为
②利用辗转相除法，在有理数域Q 上可得
故
有重因式. 又易知
故是
7．
设向量组
线性表示.
【答案】用反证法，若则
[否则若
可以由则由
知
线性表示，即
线性相关，矛盾].由可解得
是的单因式，
的4重因式. 故
在Q 上的不可约多项式仅有的2重因式，故
与利用多项式除法又进一步可知，与都
在Q 上的标准分解式为
线性无关，
向量组
线性相关，试证
：
不能由
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