2018年重庆师范大学数学学院829高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足
的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
可推得AB 的第一列
并记A 各列依次为
从而
线
由于
不妨
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.
记
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设知，所以
3． 设A 为常数，则
A. B.
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则A=（ ）.
矩阵，
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）.
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C. D. 【答案】C 【解析】由于所以又显然有基础解系
.
考虑到
4．
设
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】
秩阶矩阵
是.
（否则与
是非齐次线性方程组是对应齐次线性方程组
有解矛盾），所以
的三个线性无关的解， 的两个线性无关的解.
从而
是
的一个
的一个特解，所以选C.
若矩阵A 的秩为则a 必为（
）
故
或
但当a=1时，
秩
5．
设A 、
B 均为2阶矩阵，A*, B*分别为A 、
B 的伴随矩阵. 如果
的伴随矩阵为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
且
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则分块矩阵
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所以
二、分析计算题
6． 设且
是关于z 的次数
的多项式.
为任意数，证明:行列
式
并举例说明条件“次数是不可缺少的.
【答案】（1）当中有两个数相同时，①式显然成立（∵有两行相同）.
（2）当
互不相同时，令
由于的次数
因此只有两种可能. （1）若，则. 此时
最多只有，个不同根但由
②式，将代入均有
即有
个根，矛盾，
即
（2），再将
代入，即证①式.
（3）条件是不可缺少的，比如设
，且
再取
这时①式左端为
即①式不成立.
7． 设
（1）试给出A 可逆的条件，并求
（2）当A 可逆时，二次型
是否正定? 并说明理由.
【答案】 （1）由拉普拉斯定理，在A 中取第1，2行，可算得
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①
②
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