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一、证明题

1． 设X 与Y 是R n 中两个不同的量

【答案】假设即

从而有

产生矛盾, 于是

2． 证明施瓦兹（Schwarz ）不等式:若f 和g 在[a, b]上可积, 则

f x ）【答案】若（与g （x ）可积, 则也可积,

又即

由此推得关于t 的二次三项式的判别式非正, 即

故

3． 设

证明

的充要条件是

则时, 有则

即

, 证明:交错级数

, 则

（

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证明|

, 则存在

都可积, 且对任何实数t ,

. 故

当即当

时, 有

时, 有

即

对

取

, 又因为

所以

【答案】必要性, 若对

取充分性, 若则当

4． 设

时, 有,

当

收敛.

适当小）, 有

【答案】先证明一个不等式. 设

事实上, 令当

由已知的极限, 当n 适当大时, 则当n 适当大时, 有

, 由f （0）=0和

时, 有f （x ） >f （0）, 即式（1）成立.

单调递减. 设所给的极限为

, 取

可知, 存在

满足

,

,

这里应用了不等式（1）, 由此可知, 存在A>0, 使当n 适当大时, 有

由莱布尼茨判别法,

5． 证明:

（1）（2）

【答案】（1）由（2） 6． 设

, 指出f （x ）的所有间断点, 并讨论它们的类型.

.

时,

. , 但

故x=0为第二类间断点;

对

, 由于

所以

是连续点;

也是连续点;

.

是连续点, 否则为第一类间断点. 得

收敛.

【答案】f （x ）可能的间断点为对x=0, 取

,, 则当

类似地讨论可知, 对

, 易知

由此可见, 当k 是完全平方数时, 类似可讨论

:的情形.

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二、解答题

7． 求曲线

【答案】曲线质量为

I

8． 在

上展开f （x ） =x+cosx为余弦级数.

上的偶函数,

则

,

由收敛定理, 对

,

在点

处, 其傅里叶级数收敛于

9． 求下列函数的导数:

【答案】（1）（2）

（3）（4）（5）（6）（7）

（8）

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的质量, 设其线密度为.

【答案】将f （x ） =x+cosx延拓为