当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明:曲面

可微, 常数a , b , c 不同时为零.

【答案】记

则

于是曲面

n 与某直线方向向量或

于是当l 1, l 2, l 3 满足

2． 证明

【答案】对任意的数

在

时恒有

取1=（b , c , a ）,

上任一点的法向量为

垂直当且仅当

即

上任意一点的切平面都与某一定直线平行, 其中函数F 连续

则曲面 F （ax —bz , ay—cz ）=0 上任一点的切平面与l 平行.

由不等式则当

3． 试证明:函数F （x , y ）在点一阶偏导数）.

【答案】F 的等值线为F （x , y ）=c, 它在点故等值线在点

4． 证明级数

【答案】由微分中值定理, 有

从而

第 2 页，共 35 页

得时, 有

限制时

, , 即

. 当故

时, 函

其

中取

上是严格减函数.

于是当

的梯度恰好是F 的等值线在点

的切线方程为

即结论成立.

收敛, 并且其和小于1.

的法向量（设F 有连续

的法向量

专注考研专业课

13年，提供海量考研优质文档！

又

所以级数

5． 按定积分定义证明:

【答案】对于和为

从而

可取为任何正数, 只要使

, 就有

根据定积分定义有

6． 证明下列各题:

（1）（2）（3）

在

上一致收敛；

的任一分割

,

任取

相应的积分

收敛

, 并且其和小于1.

在[a, b]（a ＞o

）上一致收敛；

（i ）在[a, b] （a ＞o ）上一致收敛； （ii ）在[0,

b]上不一致收敛；

（4）（5）

在

上一致收敛；

, 而

而且对任何M ＞0, 令

收敛, 所以

收敛, 所以

收敛, 所以,

在（﹣∞, b] （b ＜l ）上一致收敛.

在

上一致收敛.

（2）因为（3） （i ）（ii ）取

在[a, b] （a ＞0）上一致收敛

. 在[a, b] （a ＞o ）上一致收敛.

所以（4）

在[0, b]上不一致收敛.

第 3 页，共 35 页

【答案】（1）因为

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

而且（5）

又

收敛,

所以在

收敛, 所以

在

上一致收敛.

上—致收敛

.

二、解答题

7． 试在数轴上表示出下列不等式的解:

（

1）（

2） （3）

【答案】（1）由原不等式得

不等式

组①的解是

不等式组

②的解是

图1

（2）原不等式同解于不等式在数轴上表示如图2所示.

图2

（3）原不等式的解

x 首先必须满足不等式组

解得即

当

8． 求极限

【答案】先求

为此令

, 取对数得lny=xlnx.而

故

第 4 页，共 35 页

故的解集

是

在数轴上表示如图1所示.

由此得原不等式的解为

原不等式两边平方得

时, 不可能成立, 故原不等式无解.