2018年西北大学数学学院632数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设f 为
试证明:当
取最小值, 且最小值为
上述
是三角多项式,
为它的傅里叶系数.
其中
所以
由上式可得,
当且仅当且最小值为
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上可积函数. 为f 的傅里叶系数, 1时, 积分
【答案】依题意
时积分取最小值,
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2． 设
（1）（2）
（
3）
【答案】（1）因为
时
,
有
取
则当
证明:
所以对于任给的
当
同时有
时
, 有
存在.
成立, 因而
.
使得当
故
（2
）对于任给的
时, 时
,
故
（3）对
于任给的
时,
时,
有
取
则当
时有
故
第
3
页，共
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存在,
使得当
再由函数极限的局部有界性知,
存在
则当
时, 有
时, 当
使得当
, 存在
因为
, 使得
当
时
,
当使得当
由局部保号性知, 存在
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3． [1]设函数f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可微, 又f （x ）不是线性函数. 证明:使
[2]设f （x ）在[0, 1]上可导, 且内存在一组互不相等的数
使得
.. ,
为n 个正数. 证明在区间[0, 1]
【答案】过点（a , f （a ））与（b , f （b ））的直线方程为
9
=f=f. 由于f , g 显然, g （a ）（a ）（b ）（b ）（x ）不是线性函数, 故存在点不妨设
, 则有
由拉格朗日中值定理,
时, 有
, 使
[2]用上例的思路来证明之. 令
以及
显然可以求得一点
又可求得一点
使得
在每一个小区间即
亦即
将上式对i 从1到n 求和, 可得
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, 使.
和, 使
, 取,
取
; .
当
于是, 总存在
当f （a ）>f（b ）时, 有
. 取
使使
.
再在. 总之, 我们有
在[0, 1]上对f （x ）应用介值定理,
上对f （x ）应用介值定理,
.
, 使得
. 如此下去, 可以求出
上, 对f （x ）应用拉格朗日中值定理, 存在
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