2018年内蒙古民族大学数学学院806高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则. 则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解 有非零解
有惟一解 只有零解 有零解.
C. 如果A 有阶子式不为零，则，D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】
2． 设向量组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】方法1:令
未知量个数
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）.
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为所以向量组
3． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使.
C. 存在可逆阵C 使
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线性无关.
线性无关.
D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B 【答案】D 【解析】 4． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1用排除法令这时方法2
所以当方法3设
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
，
即
时，二次型可化为
所以f 为正定的.
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其中则PAQ=B
则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于
则
即f 不是正定的. 从而否定A , B，C.
则
时，f 为正定二次型.
时，A 的3个顺序主子式都大于0, 则，为正定二次型，故选（D ）.
则当
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C ,
记
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】由已知，有
于是
则（ ）.
二、分析计算题
6． 设A 与B 是数域P 上的n 级矩阵，且
【答案】因为
而AB=BA, 所以有
故有
即
7． 设P 是数域，
证明：存在可逆阵P , Q, 使
【答案】因为秩
所以
且和
秩
有相同的r 阶顺序主子式.
证明：
可逆阵P 、Q ，使
又因为所以有
所以
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