2017年吉林师范大学信息技术学院601高等数学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类。如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续:
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）对x=1，因为f （1）无定义，但
，重新定义函数:
所以x=l为第一类间断点（可去间断点）
则f l （x ）在x=1处连续。 因为
，所以x=2为第二类间断点（无穷间断点）.
，所以x=0为第一类间断点（可去间断
（2）对x=o，因为f （0）无定义，，重新定义函数:
点）
则f 2（x ）在（3）对x=0，因为（4）对x=1，因为
但不相等，所以x=1为第一类间断点（跳跃间断点）。
注：在讨论分段函数的连续性时，在函数的分段点处，必须分别考虑函数的左连续性和右连续性，只有函数在该点既左连续，又右连续，才能得出函数在该点连续。
处连续。 及
均不存在，所以x=0作为第二类间断点。
即左、右极限存在，
2． 已知F f x ）（x ）是（的一个原函数，而F （x ）是微分方程的解，试将f （x ）展开成x 的幂级数，并求
【答案】由当
时，
知由
，积分得
得
故
而
的值。
满足初始条件
C 为任意常数。
于是
故
于是
3． 求图中各画斜线部分的面积：
【答案】（1）解方程组得到交点坐标为（0, 0）和（1, 1）。
如果取x 为积分变量，则z 的变化范围为[0, 1]，相应于[0, 1]上任一小区间[x，x+dx]的窄条面
积近似于高为、底为dx 的窄矩形的面积，因此有
如果取y 为积分变量，则y 的变化范围为[0, 1]，相应于[0, 1]上任一小区间[y，y+dy]的窄条面积近似于高为dy 、宽为y-y 的的窄矩形面积，因此有
2
（2）取x 为积分变量，则易知x 的变化范围为[0，l]，相应于[0，l]上的任一小区间[x，x+dx]的窄条面积 近似于高为e-e 、底为dx 的窄矩形的面积，因此有
如果取y 为积分变量，则易知y 的变化范围为[l，e]，相应于[l，e]上的任一小区间[y，y+dy]的窄条面积 近似于高为dy 宽为lny 的窄矩形的面积，因此有
（3）解方程组
得到交点坐标为（-3，-6）和（1，2）。
x
如果取x 为积分变量，则x 的变化范围为[-3，l]，相应于[-3，1]上的任一小区间[x，x+dx]的
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窄条面积近 似于高为（3-x ）-2x=-x-2x+3、底为dx 的窄矩形的面积，因此有
如果用y 为积分变量，则y 的变化范围为[-6，3]，但是在[-6，2]上的任一小区间[y，y+dy]的窄条面积近 似于高为dy 、
宽为
[y，y+dy]的窄条面积近似于高为dy 、宽为
从这里可看到本小题以x 为积分变量较容易做. 原因是本小题中的图形边界曲线，若分为上下两段的话，则为y=2x和y=3-X; 而分为左右两段的话，则为段曲线的表示相对比较复杂，也就导致计算形式复杂.
（4）解方程组以x 为积
分变量计算较容易. 取x 为积分变量，则x 的变化范围为[-1，3]，相应于[-1，3]上的任一小区间[x，x+dx] 的窄条面积近似于高为2x+3-x、底为如的窄矩形的面积，因此有
2
2
的窄矩形的面积，在[2，3]上的任一小区间
的窄矩形的面积，因此有
和其中右
，与（3）相同的原因，本小题得到交点坐标为（-1，l ）和（3，9）