2017年湘潭大学数学与计算科学学院832高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 计算曲线积分
，其中L 为圆周
，L 的方向为逆时针方向。
，Q （x ，y ）均无意义。现取r 【答案】在L 所围的区域内的点（0，0）处，函数P （x ，y ）
为适当小的正数，使 圆周l （取逆时针向）:x=rcost，y=rsint（t 从0变到27t ）位于L 所围的区域，可应用格林公式，在D 上，有
内，则在由L 和1所围成的复连通区域D 上（图）
图
于是由格林公式得
从而
2． 求曲线
在与x 轴交点处的曲率圆方程。
得曲线与x 轴的交点为（l , 0）。
则
曲率半径
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【答案】解方程组
, 故
设曲线在点（l , 0）处的曲率中心为
因此所求的曲率圆方程为
3． 求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数
；
【答案】（1）应用隐函数的求导方法，得得
（2）应用隐函数的求导方法，得于是
（3）应用隐函数的求导方法，得
于是
（4）应用隐函数的求导方法，得于是
4． 要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小? 这时底直径与高的比是多少?
【答案】己知圆柱形油罐的表面积
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，于是在上式两端再对x 求导，
, 即
令由此时
, 即
:
, 得
,
, 知
为极小值点, 又驻点惟一, 故极小值点就是最小值点。,
所以当底半径为
和高
时, 才能使表面
积最小。这时底直径与高的比为1:1。
5． 判定函数
【答案】
且
的单调性 仅在
时成立, 因此函数
在[0, 2π]
上单调增加。
6． 推导余切函数及余割函数的导数公式:
【答案】
7． 求过（1，1，﹣l ），（﹣2，﹣2，2）和（1，﹣1，2）三点的平面方程.
。
【答案】由=0得x －3y －2z=0，即为所求平面方程.
8． 计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性：
，其中L 是由抛物线
边界曲线；
，其中L 是四个顶点分别为
的正方形区域的正向边界。
【答案】（1）先按曲线积分的计算公式直接计算。记，于是 从1变到0（图）
，x 从0变到1；
y 和
和
所围成的区域的正向
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