2017年湘潭大学数学与计算科学学院832高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 求下列微分方程的通解：
说明：求解线性微分方程组一般采用“消去法”。
1°从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含一个未知函数的线性微分方程，然后求出该线性微分方程的通解，本题的（l ）（2）（3）题采用这种方法来解; 对于学过“线性代数”的读者，可以记
将微分方程组写成代数线性方程组的形式，然后用类似于克拉默法则的方
法，消去一些未知函数而获得一个未知 函数的微分方程，本题的（4）（5）（6）题采用这种方法来解。
2°当用“消去法”求得一个未知函数的通解后，求另一未知函数的通解时，一般不必再积分，否则会出现 新的任意常数.
【答案】（1）将
中①式的两端关于x 求导，得
代入②式得
即由它的特征方程
解得于是得
从而由①，得
故方程组的通解为
（2）将中①式两端关于t 求二阶导数，得代入②式得
即由它的特征方程
再由①，得故方程组的通解为
解得于是得
（3）将代入①式，得
由它对应的齐次方程的特征方程
由③得
故方程组的通解为
（4）记
则方程组可表示为
记
由其对应的齐次方程的特征方程
程③的特解，代入③并比较系数，得
并由①得
即
的①+②得即
解得
且易见
是④的特解，于是
则有即
解得
于是得
并令是方
（5）记方程组可表示为
则有即
得A=2，B=-3，C=-4。于是
再由②得
即
③所对应的齐次方程的特征方程的根为令代入③并比较系数，可
（6）记
方程组可表示为
则有
即
有根
于是
令③的特解
③所对应的齐次方程的特征方程为
代入③并比较系数，可得
再由①-2×②，得
即
2． 求半径为a 、高为h 的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量（设密度的空间闭区域
）。
【答案】建立空间直角坐标系，使原点位于圆柱体的中心，z 轴平行于母线，则圆柱体所占
于是所求的转动惯量为
相关内容
相关标签