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一、解答题

1． 设

【答案】令

所以

2． 应用函数的单调性证明下列不等式:

（1）（2）（3）

【答案】（1）令所以f （x ）在（2）先证明再证为了确定此,

又因为g （x ）在（3）令

则

所以当x>0时,

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求.

;

. 则

内严格递增.

时, 则

, 即,

, 则内严格递减.

时,

, 故当

时

.

因

则

的符号, 令于是, g （x ）在连续, 所以当

. 故

于是在

内, f （x ）严

.

, 令令

又因f （x ）在x=0连续, 所以当格递增. 又因为f （x ）在x=0连续, 所以

因此h （x ）

在内严格递减. 又因h （x ）在x=0连续,

故

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由此可得,

3．

【答案】原式=

4． 设f （x ）在

上连续,

求T

n

（x

）（即确定系数

最小.

【答案】设a n , b n 为f （x ）在

）, 使均方差

上的傅里叶系数, 而

上式第一、三项为常数. 由此可见, 当且仅当

时最小, 最小值

5． 设f （x , y , z ）在

则

在

[a, b]上连续.

上连续. 令

【答案】分成两步来证. （1）记

因为f （x , y , z ）在有界闭区域上连续, 所以一致连续. 于是

, 当

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时, 有

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对z 在[a, b]上取最小值得

由此知,

在

上连续.

, 则

由

在

上连续知

, 在[a, b]上连续.

, 应用链式法则计算

即

则

在

（2）令y = a +k（x －a ）, 其中

上连续,

用与（1）中相同的方法可证明

6． 设

【答案】把w 看作以下三个变换的复合

7． 试求心形线

【答案】所求平均值为

8． 求由抛物线

与

所围图形的面积.

,

上各点极径的平均值.

【答案】该平面图形如图所示. 两条曲线的交点为（-1, 1）和（1, 1）, 所围图形的面积为

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