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一、计算题

1． 求

【答案】因为

所以

2． 为了使曲线积分

与积分路线无关, 可微函数F （x , y ）应满足怎样的条件?

3． 讨论复合函数

与

的连续性, 设

【答案】（1）因为

, 所以

故x=0为（2）

于是

故在x=－l , 0, 1处有跳跃间断点, 在其他点连续. 因为所以

处处连续.

4． 求下列函数在指定点的高阶导数:

（1）

, 求

,

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【答案】这里P=yF （x , y ）, Q=xF （x , y）则该积分与路线无关

, 故在R 上连续. 又

的可去间断点, 即在上连续.

, ；

（2）【答案】（1）

,

（2）

, 求,

,

, ,

, ,

,

.

5． [1]求下列数列的极限:

（1）（2）（3）

[2]应用上题的结论证明下列各题: （1）（3）（5）（7）若（8）若

【答案】[1]（1）因为

而（2〉令（3）

因为所以

[2]（1）因为（2）令

所以

则

可知,

第 3 页，共 40 页

则则

（2）（4）（6）

所以

由迫敛性可知则

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（3）令

则

可知,

（

4）令

则

可知,

（5）令

可知,

因而

（6）令

则

. 可知,

（7）补充定义因为由题意得

（8）令

则

可知,

令所以

则由

知

二、证明题

6． 设

（2）

【答案】（1）一方面, 若这表明

.

另一方面, 因为表明

（2）

所以

, 则

, 则或

, 即

综合两方面, 有

. , 使y=f（x ）因为

第 4 页，共

40 页

A , B 是X 的任意子集, 证明:（1）

; （3）若f 是一一映射, 则

, 则

或,

总

, 若

, 则

,

使y=f

（x

）, 即

, 则

, 使y=f（x

）

所以

.

; . 使y=f, （x ）

,

, 使y=f（x ） .

或

. 所以

且

, 则

从而

, 这