2018年东南大学经济管理学院601数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f （X ）在
I
上可微, 且对x>l满足
证明:【答案】记
. , 则
因此若在一个点列
存在广义极限, 记为L.
, 对g （x ）在
. ,
则
, 使得
另一方面, 由令
可得
这显然与刚才的结论矛盾, 所以上有界, 则
【答案】
记贝
!J
.
,
故
, 有, 使
故
, 即
3． 设f （x ）在[a, b]上连续, 证明不等式量函数时成立.
【答案】
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上应用拉格朗日中值定理, 存在
.
这表明在
使得
上存
,
2． 证明:若f （x ）在区间
若M=m, 则f （x ）为常数, 等式显然成立. 设m 另一方面 由上、下确界的 定义知, 分别存在 从而由上界确定义知 , 其中等号仅在f （x ）为常 其中 若等号成立, 则对任何即 4． 证明: （1）（2）【答案】（1）设界为M. 若记 则 注意到 攸敛, 利用优级数判别法可知, 在[0, 1]上一致收敛. . 因为 所以 在[0 , 1] 上连续并且有界, 、 , 有 , 所以f （x ）=f（y ）, 即f （x ）为常量函数. 由逐项积分定理, 有 （2） （2）的证明包含在（1）的证明之中. 5． 证明:定圆内接正行边形面积将随n 的增加而增加. 【答案】设圆的半径为R , 则该圆的内接正n 边形面积 令 则 第 3 页，共 39 页 于是当 时, , 故f （x ）在 上严格递增. 因此, 数列 严格递增. 即圆内接正 n 边形面积将随 n 的增加而增加. 6． 设向量函数心定义如下 其中 确定了唯一的隐函数y=f（x ）并求 【答案】计算得知 在得 显见 . 所以 , 在点 的某邻域内, 向量函数方程F （x , y ） 因为 所以 于是 7． 求证含参量广义积分 【答案】任取（1） 当a>0时, 因为（2）当a=0时, 且充分小, 使得 的任何有界闭子区间上一致收敛. 的有界闭子区间[a, b] （a 收敛, 所以广义积分 当B>A>0时, 有 第 4 页，共 39 页 证明:在点 - 的某邻域内, 向量函数方程 上连续 , 由 =0确定了惟一的隐函数y=f（x ）, 且 在[a, b]上一致收敛.