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一、证明题

1． 若函数

. 满足恒等式

z ）则称F （x , y ，为k 次齐次函数，

试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F （x ，y , z ）为k 次齐次函数的充要条件是:

并证明:

为2次齐次函数.

令

两边对t 求导得

充分性 设令

由己知，得所以（2）因为

求关于t 的偏导数得

于是仅是x , y , z 的函数，记

，

令

，

因此

所以z （x ，y ）为2次齐次函数.

, 时有

【答案】（1）必要性 由令t=l则有

2． 设f f （x ）在有限区间上有定义，证明：（x ）在上一致连续若{xn}是中的柯西列, 则. 也是柯西列.

【答案】

:

对

, 由f （x ）在上一致连续, 则. 设{xn }是中的柯西列, 则对上述的

当m , n>N

时有但因

从而穿插之后序列恒有

, 故

, 从而

, 对有界, 因此

. 由

, 即

存在

也收敛于相同的极限,

亦收敛, 即为柯西列, 但其像序列

, 不是柯西列, 矛盾. 所以f （x ）在上一致连续.

时, P 0是E 的聚点.

时,

则对任给的

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, 当且

, 存在正整数N ,

为柯西列

.

, 虽然

.

,

中存在收敛子列

:若f （x ）在上非一致连续, 则

中相应的子列

3． 证明:当且仅当存在各点互不相同的点列

【答案】充分性

若存在

总存在N , 使得n ＞N

时, 有

当充分大时, 这说明P 0是E 的聚点.

必要性 若P 0是E 的聚点, 则对任给的含有E 中的点, 取出一个, 记为P 1.

取

则

中含有E 中的点, 取出一个, 记为P 2. 依此类推, 取

则

这样继续下去, 得到一个各项互异的点列

中含有E 中的点, 取出一个, 记为P n. 易见

且

中必含有E 中的点, 取

则

中

含有

的无穷多个点, 又

从而

中含有E 中无穷多个点,

二、计算题

4． 估计下列近似公式的绝对误差:

（1）（2）

, 当

当（2）由当

时,

时, 绝对误差的估计为

的带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式得

【答案】（1）sinx 的麦克劳林公式为

5． [1]求下列数列的极限:

（1）（2）（3）

[2]应用上题的结论证明下列各题: （1）（3）（5）（7）若（8）若

则则

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（2）（4）（6）

【答案】[1]（1）因为

而（2〉令（3）

因为所以

[2]（1）因为（2）令（3）令

所以

则则

可知,

则

由迫敛性可知

所以

可知,

（4）令

则

可知,

（5）令

可知,

因而

（6）令

则

. 可知,

（7）补充定义因为由题意得

（8）令

则

可知,

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令所以

则由

知