2017年四川师范大学数学与软件科学学院625数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设即可.
事实上，由f
是
由
由已知条件
，在收敛子列
再由
2． 证明：当
满足
及f 的连续性，令时有不等式
【答案】令
则
于是
使得
故
3． 证明数列
【答案】显然
设即
有上界
解得
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是连续映射，若对中的任何有界闭集并设
欲证，
均有界. 证明：是闭集.
【答案】任取点列
到
是闭集，只需证明
使得
记
相应
地
存
的映射知，
对每一个
当
相应地存在
时
，
显然它是有界闭集.
可知
，
是有界集，
所以
可得
注意到
故
是有界点列. 由致密性定理
，
因在上递减，
且
根据积分第二中值定理，存在
的极限存在，并求其值.
下证
有上界
.
则
的极限存在，设
在
中，令
•得
由单调有界定理，
4． 设f (x ，y ) 在区域
其中
【答案】任
取
时，有
上对x 连续，对y 满足利普希茨条件：
为常数，试证明f 在G 上处处连续.
对固定
的
连续，于是对任
给
存
在
又由，f 对y 满足利普希茨条件，对上述
现取
则当
取时，
. 则当
时，有
所以
在点
处连续，由点
的任意性知
在G 内处处连续.
5． 利用级数收敛的必要条件，证明下列等式：
(1)
【答案】(1) 设
(2)
考察正项级数
的收敛性，因为
所
从而级数
收敛. 由级数收敛的必要条件知
(2) 设
考察正项级数
的收敛性，因为
»
所以
6． (1) 设
(2) 设【答案】(1) 令
则
则
有下界，
又
上单调递减，则
从而
其中
单调递减，从而由单调有界定理得
由于
在收敛，且
在
上非负递减，证明
时证明数列
收敛.
有极限L ，且
从而级数
收敛. 由级数收敛的必要条件知
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两边取极限得
(2) 令
则
由(1) 知道时，敛.
，而
收敛，令
收敛，所以
可知
是
的瑕点，
当
收
收敛. 因此，数列
二、解答题
7． 把
其中f (u ) 为连续函数.
【答案】令
则
由于
所以
8． 设
满足方程组
这里所有的函数假定有连续的导数.
(1) 说出一个能在该点邻域内确定x ，y ，z 为u 的函数的充分条件；
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上的重积分化为单重积分，
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