当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1．

设

在

求证：至少存在一点【答案】用反证法,

如果函数因为

在

点

在使

得

这与

点.

2． 证明域

使得

上连续，

所以

使得在

上没有零点，那么函数由题设条件知，

在是最小值相矛盾，所以函数

在内存

在在

上也没有零点，

，使

得

上至少有一个零

. 根据闭区间连续函数的性质，必存在最小值，即存

上连续，对于区

间

中的每一个

点

总存在

.

使

得

在区间I 上内闭一致收敛于f 的充分且必要条件是：对任意在，所以

上一致收敛于f. 总存在

的一个邻域而由已

知

当

时，

存在的一个邻

【答案】

必要性

收敛于f.

充分

性上所有点时，

取所以

和I 的一个内闭区间[a, b]，

使得

在

上一致

在[a, b]上一致收敛于f ，因此

使

得

有

在

上一致收敛于f. 从

而

显然，当取遍[a，b]

覆盖[a, b].由有限覆盖定理，存在有限个区间覆盖[a，b].不妨设

，有

则当n>N时，

在I 上内闭一致收敛于f.

在[a, b]上一致收敛. 由[a, b]的任意性，得

3． 设为连续函数，证明：

【答案】(1) 从所要证明等式的被积函数来看，应作代换

则

(2)

令

则

从而

第 2 页，共 29 页

于是有

由此得

4． 设

在集合上有界，求证：

【答案】由下确界定义有

移项即得

由下确界定义有

即得要证的第一式，又因为

5． 证明：若

由致 密性定理，存在

不存在，这与

6． 证明级数

【答案】因为所以

当

时，数

列收敛. 因为

而

发散，所以

发散. 故原级数为条件收敛. 条件收敛.

所以该级数为交错级数. 令

单调递减，

且

则

由莱布尼茨判别法知级

数

的子列

从

的左方或右方收敛于

但

不收敛，即

与

在

与

所处的地位是对称的，故第二式也成立.

在

上有界.

使

上只有第一类间断点，则在

【答案】

假设

上无界，则对每一个自然数n ,

存在互异点列

只有第一类间断点矛盾.

二、解答题

7． 求由抛物线

与

所围图形的面积。

和

所围图形的面积为

第 3 页，共 29 页

【答案】该平面图形如图所示. 两条曲线的交点为

图

8． 设

求

【答案】用泰勒公式，

两边积分可得

由此可得f （X ）的泰勒展开式

于是，有

若令

则上式可改写为

综上，有

其中I 为自然数.

9． 求定积分

【答案】作变量替换

则原积分

则

原积分

第 4 页，共 29 页