当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明：若正项级数

收敛，且数列

单调，则

又由从而又从而

2． 设函数

【答案】令

证明则

故

3． 设f (x ) 在[a, b]上递增

，

证明：存在

因为下证有

故E 非空且有上界b , 从而必有上确界，可记

对任意的即

有

b]上递增，而f (x ) 在[a，故

由此得出

即而综上即有

第 2 页，共 24 页

存在N , 当n>N时，有

故

【答案】因为正项级数

单调可知

收敛. 故由柯西收敛准则，任意的正数

发散) ，从而

必单调递减(否则级数

故

使得

记

又

故

【答案】用确界原理证明. 若f (a ) =a或f (b ) =b, 结论成立. 下面假设

为E 的一个上界，从而有

另一方面，由于f (x ) 在[a，b]上递增，于是有

故又有

成立.

4． 证明sinx 在

【答案】对于任意的

上一致连续.

有

对任给的

在

5． 证明：曲面

取

则对一切

当时，

有

故

上一致连续。

上任意一点的切平面都与某一定直线平行，其中函数F 连

续可微，常数a ，b ，c 不同时为零.

【答案】记

则

于是曲面F (ax-bz , ay-cz ) =0上任一点的法向量为

n 与某直线方向向量或

于是

当

6． 设函数明：(1) 存在

【答案】(1) 令

在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0, 1) 内可微，且

使得

(2) 存在则

函数函数

在闭区间[0, 1]上连续， 在闭区间[0，1]上连续.

使得

(2)

令

显然

在闭区间[0, 1]上连续，在开区间(0，1) 内可微. 由于

且由(1) 的结论知，存在

使得

第 3 页，共 24 页

垂直当且仅当即

满

足时恒

有取1=(b ，c , a ) ，则曲面

上任一点的切平面与1平行。

证

使得

由连续函数的零点存在定理知，存在即存在使得

根据罗尔中值定理，存在由于 7．

所以有

使得

即

即

..

在R 上二次可导，

证明：

在R

上恰有两个零点.

【答案】先证当因为

所以，当x 的绝对值足够的大的时候，不妨设当当同理，当由又由于

时，

时，>的时候，可知

先单调减少，再单调递增.

各有一个零点.

为递增函数。所以

.

.

的时候，

根据连续函数的零点存在定理知，

二、解答题

8． 计算沿空间曲线的第二型曲线积分：

(1) (2

)

线，其方向按曲线依次经过

【答案】(1) 曲线的参数方程为

依次经过1，2, 7, 8卦限，于是

(2) 记球面图所示，则

与xy 平面的交线为

与yz 平面的交线为

与zx 平面的交线为

如

其中L 为

与

相交的圆，其方向按曲线依次经过其中，L

为球面

平面部分，yz 平面部分和zx 平面部分.

当从0增加到

时，

点卦限；

在第一卦限部分的边界曲

第 4 页，共 24 页