当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明：若级数

【答案】假设发散.

也发散

2． 证明：

设

则

【答案】因为任意故所以

3． 试确定函数项级数

【答案】由于

所以当

时级数绝对收敛，

当

时级数发散，当

时，因为

因而级数发散，于是级数的收敛域为(-1，1) .

设

当

求证f (x ) 在(-1，1) 内连续

.

时有

由根式判别法知上连续，由

收敛，

所以

的任意性知f (x ) 在(-1，1) 内连续

.

在

上一致收敛，从而f (x )

在

的收敛域，并讨论该级数的一致收敛性及其和函数的连续性. 及

又

在D 上一致收敛于f.

有

故

m ，收敛. 因_

.

若对每一个正整数n

有

M

；

也发散.

收敛，这与题设

. 发散矛盾，

所以若

. 故级数

在(-1，1) 内非一致收敛.

事实上，设

取

则

即

第 2 页，共 26 页

在(-1，1) 内不一致收敛于0，所以函数项级数在(-1，1) 内非一致收敛.

4． 试用聚点定理证明柯西收敛准则。

【答案】设

收敛，令于是

设数列

满足柯西收敛准则的条件.

如果集合

只含有有限多个不同的实数，则从某一

的极限.

如果集合

至少

中

都含有集合

于是，对任给的

存在正整数N , 使得当

时，

有

项起这个数列的项为常数，否则柯西条件不会成立. 此时，这个常数就是数列有一个聚点

假如

无限多个点. 这与取

整数N ，当对于任意使得

有两个不等的聚点

存在正时，有存在N , 使得当因而，当

时，

故数列 5． 设

【答案】

则.

收敛于

时，

矛盾. 故不妨设

令

则与

含有无限多个不同的实数，则由柯西条件容易得知它是有界的. 于是由聚点定理，集合

的聚点是惟一的，记之为 又因为是

的聚点，所以存在

证明f (x ，y ) 在D 上连续，但不一致连续.

由极限的四则运算法则知

所以f (x ，y ) 在点在D 中取两个点列

连续，从而f (x , y) 在D 上连续.

则

但

所以f (x , y) 在D 上不一致连续.

6． 设

证明级数

是收敛的.

【答案】显见级数为正项级数，设级数部分和数列为

第 3 页，共 26 页

则

即该正项级数的部分和存界，从而原级数收敛.

7． 分别用确界原理及区间套定理证明：若

使得.

则是非空有界数集.

记

【答案】(1) 利用确界原理答:

构造数集

，往证则(反证法). (2)

利用区间套定理证明设

若在分点处有区间套定理，存在唯一的

则结论成立，否则

则

在每个区间往证

在

上单调递增，

且

则

利用二等分法构造区间套的端点处函数值异号，由

二、解答题

8． 判别下列广义积分的收敛性：

【答案】（1）此广义积分有瑕点当则有

由于此处当

故

时，因为

收敛. 所以当

有

所以只要取

则有

由于此处当

时，因为

故

收敛.

所以

发散.

时. 即当

时，

收敛.

时，因为

，有

与

.

，所以当

时，取

，（p 是固定的）

以上两方面结合起来，当. （2）此广义积分有瑕点当

时，因为

时，则原广义积分收敛.

以上两方面结合起来，则原广义积分发散.

第 4 页，共 26 页