当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明：若

【答案】

若从而

2． 证明：若

【答案】

在区间上一致收敛于0, 则存在子列

使得

在，上一致收敛.

使得

为递增数列，则无界，

则

等式成立. 若

有界，由单调有界原理可得存在，

在上一致收敛于0,

所以对任意的自然数

总存在自然数

而级数

收敛，由魏尔斯特拉斯判别法，得级数

在上一致收敛.

3． 证明：

当

时一致收敛.

【答案】方法一

而

. 关于x 单调递减，且

所以当

时，

一致收敛于0.

由狄利克雷判别法知

当方法二 对

时一致收敛

作变换

即

则

由狄利克雷判别法知该积分收敛，从而对递减且一致有界，即

第 2 页，共 23 页

该积分一致收敛，又关于x 单调

由阿贝尔判别法知，当 4． 设在

为上一致收敛. 【答案】任取一个趋于

时

上连续非负函数，的递増数列

(其中

一致收敛。

在

) ，考察级数

上连续，证明

由于势

5． 设f (x ) 在

则

上连续，对任意收敛.

在

且连续，从而

上一致收敛，由(a) 及教材

且在

在另外

上连续由狄尼定理得级

上一致收敛.

试证：若

定理19.8推得有

【答案】用比较判别法. 因

为

即

，所

以

当时

有

从而当

时有

若

可取

收敛.

6． 设当

时(x ) , 所以

者中至多有一个在x=0连续.

7． 利用导数定义证明

：

【答案】

而

从而

证明：

两者中至多有一个在x=0连续.

因为

时

这与题设

矛盾. 故f 与g 两

则

从而积分

收敛，根据比较判别法可知，

积分

【答案】反证法. 假设f (x ) 、g (x ) 都在x=0连续，

则

二、解答题

8． 流体流速

求单位时间内穿过球面

是S 在三个坐标面上的投影面，则有

第 3 页，共 23 页

的流量。

【答案】设S 为所给球面

，

其

中

分别

是

的单位法矢，显然有

^

和z=x+y所围的立体；

故

从

而

于是所求流量为

9． 求由下列曲面所围立体V 的体积：(1) V 是由

(2) V 是由曲面【答案】(1)

由

故体积

所围的立体.

因此积分区均

这里应用变换(2)

由

底面为

所以立体V 在xOy 平面上的投影为D

:

则体积

且

•, 所以

立体的顶面为

10．求下列曲线在所示点处的切线方程与法平面：

【答案】(1) 因

所以切线方程为

即

法平面方程为

即

第 4 页，共 23 页