2017年福州大学离散数学研究中心611数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设即可.
事实上，由f
是
由
由已知条件
，在收敛子列
再由
满足
及f 的连续性，令
到
的映射知，
对每一个
当
相应地存在
时
，
是有界点列. 由致密性定理
，
注意到
时
时，则对任给的
当充分大时
点，这说明
必要性若取
含有
的无穷多个点，
又
从而
中含有E 中无穷多个
则
1
是E 的聚点.
是E 的聚点，则对任给的
中含有E 中的点，取出一个，
记为则
这样继续下去，得到一个各项互异的点列
3． 设
【答案】设. 时，
有
取
由此推出，当n>N时
且a
由于对于
. 故当n>N时，有
对于存在正整数
存在正整数
使得当
使得当时，
有
易见
依此类推，
取
中含有E 中的点，取出一个，记为
则
中必含有E 中的点，取
故
使得
记
相应
地
存
显然它是有界闭集.
可知
，
是有界集，
所以
可得
是连续映射，若对
中的任何有界闭集并设
欲证，
均有界. 证明：
是闭集.
【答案】任取点列
是闭集，只需证明
2． 证明：当且仅当存在各点互不相同的点列
【答案】充分性若存在有
是E 的聚点.
时，
总存在N ，使得
中含有E 中的点，取出一个，记为
当n>N时，同时有
4． 设f 为
使得
上二阶可导函数
并存在一点使得
使
证明至少存在一点
由
于是
有
【答案】因f (x ) 在上满足拉格朗日中值定理，故存在得又因
为
在
在
所以
上的不连续点是
使对又显然有
是
在
上可积。 上有界，且在
任给
的任何分法，只要
的满足
同理，存
在
上可导，由拉格朗日中值定理知，存
在
使得
5． 证明函数
【答案】
因为
幅
在
现设
于是有
限个间断点，故可积. 因此，存在
的任何部分区间上的振
由于
在就有
上只有有
令
的任意分割.
设
因此，
所以
在上可积。 上满足方程
知，对任给的因为
再由的任意性知，
所以
如果
在
存在
上也一致连续.
使得
(当
时) ，
且
证明，
时
由
设得
有
6． 设函数f 在
【答案】由是区间
存在正数M ，使得当所以存在正整数N ，使得
中的任一数，由于
由的任意性知，对所有的
7． 设
在
上连续可微，并且
上连续，
上一致连续，从而则存在..
在
上一致连续，对于且时，有
时，
有
对任给A>0, 存在_
其中C 为一常数，试证
：
【答案】
在
若由于当故当所以
在
根据柯西准则，
此即表明
发散，这与已知条件矛盾，所以假设不成立，
即应有
二、解答题
8．
求圆的渐伸线
与终点.
【答案】方法一：如图所示：
和连接两个端点：
起点
的直线段AB 所围成图形的面积，并求渐伸线的弧长
图
所围图面积为
方法二：
的面积
即得
方法三：用极坐标. 向径
的极角
的面积，其中
又
于是
的面积
为曲线的极坐标方程，为