2018年电子科技大学数学科学学院601数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性:
⑴（3）（5）
（7）
【答案】（1）因（2）因（3）因（4）因
（5）因（6）因所以原级数发散. （7）
故b>a时原级数发散，b 不可导; 可导. 仅在原点不可导, 其余点可导, 从而也连续, 从而 或 仅在己知点处处不可导, 不连续, 可知 仅在 仅在点 仅在点不可导. 仅在 , 处可导, 其他点 2． （1）举出一个连续函数, 它仅在已知点 （2）举出一个函数, 它仅在【答案】（1）由于函数仅在 处不可导, 其他点处可导, 进而 或 （2）由于狄利克雷函数 处可导且导数为0, 其他点不可导, 进而不可导, 依此进行, 可得函数利克雷函数. （2） （4） （6） ，故 ，所以原级数发散. 所以原级数收敛. 故 故原级数收敛. 故 所以原级数收敛. 所以原级数发散. 处不可导, 其余点可导, 依此进行, 可得函数 处可导, 其中D （x ）为狄 3． 讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛: ⑴（3） 【答案】（1）令 （2） （4） dx=2tdt 而当 , 有 9 而当又 而（2） 绝对收敛. （3）令令 . 则 可见 时, g （X ）在 上单调趋于0, 由狄利克雷判别法知, 由狄利克雷判别法知 . 散, 并且综上所述, （4）当 时, 由 且, 则 , 时 , 单调趋于0. 故由狄利克雷判别法知:收敛. 是发散的. 故发散. 所以在 , 由定理推论3. 是条件收敛. 收敛. 再由定理, , 则 > 收敛 . 收敛. 但由于 , 故 发散. , 发 条件收敛. 发散, 故发散, 于是 发散, 且有 令 所以. 当时, g （x ）是单调递减的, 且有, 由狄利克雷判别法, 令 收敛, 于是 收敛的方法, 条件收敛. , 则 收敛. 由此得可以证明 发散. 用上面证明收敛. 故 4． 如图所示, 直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截, 试求截得楔形体的体积 . 图 【答案】椭圆柱面的方程为的性质有 , 解得 .. 于是 故所求体积 5． 设函数 则存在 在含有 使得 有 而 故有 令 则有 的某个开区间内二次可导, 且 . 设垂直于X 轴的截面面积为A （X ）, 则由相似三角形 【答案】由Taylor 定理得, 对
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