2018年东华理工大学理学院617数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f （X ）在区间
【答案】若
下证:在题目的条件下
,
,
.
使若若
则当
, 则当
并令并令
上二次可微, 且有界. 证明:
, 使得
,
则
必变号. 若不然,
不妨设
, 使得.
严格递增.
取
变号, 由导数的介值性,
时, 有
时, 有
这与f （x ）有界性假设相矛盾.
对
2． 设f （x ）在[0, 1]上连续，证明
【答案】令t=x则
因f （x ）在[[0, 1]上连续，故
，记
，
使得
n
可类似地证明.
.
，
，不妨设0 因f （x ）在[0, 1]上连续，故f （x ）在[0, 1]上一致连续，故对上述的正数’当 且 时，有 第 2 页，共 27 页 ， 因当 ，记时，有 ，则存在正整数N 使得当n ＞N 时，有 ，从而当n ＞N 时，有 ； 由（3）和（7）知，当n ＞N 时，有 综上， 即证得 3． 设 为单调数列. 证明: 若, 则 时, 假设, 使综上, 若 4． 证明 , 其中 * 【答案】令x=au, y=bv, z=cw, 则 所以 5． 举例说明:若级数 对每个固定的p 满足条件 此级数仍可能不收敛. 【答案】如级数 ，若p 为某一个固定的数，则 第 3 页，共 27 页 存在聚点, 则必是惟一的, 且为 中含有无穷多个中只能含有即任给 按上确界定义知 的确界. . 令 , 则当 【答案】设 是一个单调递增数列. 假设, 于是 是它的两个不相等的聚点, 不妨设 中的点 , 设 中有穷多个点, 这与是聚点矛盾. 因此, 若 0, 按聚点的定义, 存在聚点, 则必是惟一的. 无界 , 则 存在正整数N , 当n>N时, 有界. 对任给的 , 的确界. , 于是小于M 的只有, 由聚点定义, 必存在 有限项, 因此不可能存在聚点, 这与已知题设矛盾, 故 有聚点, 必惟一, 恰为 但级数 发散. , 都有得 , 于是或者 , 这与题设 或者 . 若. 对任意 有 矛盾. 所以 , 若 , 6． 设f 是定义在R 上的函数, 且对任何证明对任何 【答案】 由 即则 , 都有 . 二、解答题 7． 若f （x , y ）在有界闭区域 D 上连续, 且在D 内任一子区域 f （x , y ）=0. 【答案】假设存在, 使得对一切 故必在D 上f （x , y ） =0. 8． 将函数 , 使得 , 有 . 不妨设 则 . 由连续函数的保号性知:存在, 与已知 矛盾. 上有 , 则在D 上 展开为傅氏级数. 【答案】因为f （x ）是奇函数, 所以 因为f （x ）逐段单调, 所以 9． 将函数 在【答案】 第 4 页，共 27 页 上展开为傅里叶级数, 并指出傅里叶级数所收敛的函数.