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一、选择题

1．

设

是3维向量空

间的过渡矩阵为（ ）

.

的一组基, 则由

基

到基

【答案】（A ）

2． 设线性方程组

的解都是线性方程组

的解空间分别为

是（ ）二次型. 的解，则（ ）。

则

所以

即证秩 3． 二次型

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

方法2 设二次型矩阵A ，则

是不定二次型，故选B.

【答案】（C ） 【解析】设

由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式

从而否定D ，故选B.

4． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

【答案】C 【解析】若当C.

5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

即

使AB=0, 则（ ）

.

由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

由AB=0，左乘

可得

矛盾，从而否定A ，故选

时，

分别为A ，B 的伴随矩阵，

二、分析计算题

6． 求证：

【答案】设

其中A 为n 阶矩阵，

则

这时，将①式右端拆成，因此

时）

7． 指出下列线性空间的维数，若为有限维时各给出一基：

是由0及数域K 上二元n 次齐次多项式作成的线性空间；

是复数集对数的普通加法与乘法作成的实数域R 和有理数域Q 上的线性空间. 【答案】故为

的一基，

元用x , y表示，则显然的维数是

（虚单位）为其一基，又

作成有理数域Q 都是二元n 次齐次多项

式，且根据多元多项式相等可知线性无关. 又显然K 上每个二元n 次齐次多项式都可由其线性表示，

是实数域R 上的2维空间，因为显然1，

个n 阶行列式之和，但其中有许多行列式等于0

（比如有两列都取

为n 维列向量.

上无限维空间，因为例如，中数1, 为圆周率，是超越数）中任意有限个均线性无关.

8． 元素属于实数域R 的矩阵，按矩阵加法与数的数量乘法构成数域R 上的一个线性空间. 令

在这线性空间中，变换

是一个线性变换，试求F 的核的维数与一组基. 【答案】解法1取

的一组基

则由①可求得其中

令

得基础解系