2017年武汉大学公共卫生学院873线性代数考研强化模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设式
并举例说明条件“次数【答案】（1）当（2）当
是不可缺少的.
中有两个数相同时，①式显然成立（•. •有两行相同）.
互不相同时，令
由于（i ）若均有
（3）条件“次数再取
的次数
则
因此F （x ）只有两种可能. 此时F （x ）最多只有，
即有n-l 个根，矛盾，即
再将x=a，代入，即证①式.
是不可缺少的，比如设n=3, 且
这时①式左端为
即①式不成立.
2． 设a , b，C 是实数，
证明：（1） A , B，C 相似.
（2）若BC=CB, 则A ，B 至少有两个特征值为0. 【答案】因为
个不同根但由②式，将
代入
且
是关于z 的次数
的多项式.
为任意数，证明：行列
所以A , B，C 的特征矩阵等价，故A ，B ，C 相似. 2）（2）比较矩阵BC=CB的（1，元得故
a=b=c.由
故A 至少有两个特征值为0.
3． 设
是n 个互不相同的整数，证明
在
内不可约.
它在
故
同为1或一
1.
显然没有实根，故内不变号. 于是对一切
若
因
而它们的次数
都
为而有
得到矛盾. 若
同样能导出矛盾.
即
【答案】
式的乘积. 用反证法.
设
中不可约等价于它在中不能分解为两个较低次数的多项
此
时
也没有实根. 由数学分析知道函数
都等于1或都等于-1.
则
但故
又
的首项系数
故
与
在区间
都有n 个不同的
根
的首项皆为1. 于是
皆为整系数及
故
4． 记
不能有如上的分解，因此在
P 为数域，假设
中也不可约.
但
均不是
有特征值
为同构. 因为
特征值为
A 的特征值. 试证明V 的变换
【答案】
令
则
显然保持加法与数乘，下证是一一对应的.
，它们均不是A 的特征
所以是单射，由于V 是有限维空间，所以V 是满射，证
值，得X=0, 此说明的核
完.
5． 设V 是一个n 维欧氏空间，它的内积为
（1）证明
是V 上线性函数；
的映射：
对V 中确定的向量
定义V 上一个函数
（2）证明V 到是V 到
的一个同构映射. （在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间）
【答案】（1）易证是V 上线性函数，
即（2）现在令映射为
下面逐步证明是线性空间的同构.
①是单射. 即证明当对故这样
于是
即有
因此
令
是V 的一组标准正交基，
令
则对所有
故对所有
有
即
故
时有
②是满射.
取是它们的对偶基，
对
③是线性映射. 对