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一、计算题

1． 为了检验X 射线的杀菌作用，用200kV 的X 射线照射杀菌，每次照射6min ，照射次数为x ，照射后所剩细菌数为y ，下表是一组试验结果.

表

1

从表中数据可见：y 是随着x 的増加开始迅速下降，以后逐渐减缓，最后下降很慢. 据此可认为y 关于x 的曲线回归形式可能有如下形式

（1）

（2）（3）

【答案】

我们以

和剩余标准差s ，并作出比较.

则回

归方程

从而

于是就得到了lny 关于x 的线性回归方程程为

拟合值与残差平方如下表计算：

表2

所以y 关于x 的曲线回归方

化为

为例给出计算过程.

令

试给出具体的回归方程，并求其对应的决定系数

由数据可算得（参见下表）

决定系数剩余标准差

对其他两个回归方程，可做类似的计算，两个回归方程分别为

三个方程的决定系数及剩余标准差分别为

表

3

可以看出，三个回归方程的决定系数都比较大，其中尤其以第一个方程为最好.

2． 从甲地飞往乙地的航班，每天上午10:10起飞，飞行时间X 服从均值是4h ，标准差是20min 的正态分布.

（1）该机在下午2:30以后到达乙地的概率是多少？ （2）该机在下午2:20以前到达乙地的概率是多少？ （3）该机在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率是多少？ 【答案】设时间单位为min ，则

（1）所求概率为

（2）所求概率为

（3）所求概率为

3．

是取自总体X 的样本，已知y=InX服从正态分布N （μ, 1）

（1）求μ的置信水平为95%的置信区间；

（2）求X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间. 【答案】（1）将数据进行对数变换，得到y=InX的样本值为

它可看作是来自正态总体N （μ，1）的样本，其样本均值为信水平为95%的置信区间为

（2）由于95%的置信区间为

4． 设总体X

的分布函数为

是来自总体的简单随机样本，（1）求

量；（3）是否存在常数a ，使得对任意的

都有

其中为未知的大于零的参数

，

；（2）求

的极大似然估计

是的严増函数，利用（1）的结果，可算得X 的数学期望的置信水平为

由于σ=1已知，因此，的置

【答案】（1）由题意，先求出总体X 的概率密度函数

（2）极大似然函数为则当所有的观测值都大于

零时

，

令

得的极大似然估计量为