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一、计算题

1． 设某厂大量生产某种产品, 其不合格品率p 未知, 每m 件产品包装为一盒. 为了检查产品的质量, 任意抽取n 盒, 查其中的不合格品数, 试说明什么是总体, 什么是样本, 并指出样本的分布.

【答案】总体为该厂生产的每盒产品中的不合格品数；样本是任意抽取的n 盒中每盒产品的不合格品数；样本中每盒产品中的不合格品数为

的分布为

2． 设

为取自泊松分布

的随机样本.

的水平

的检验.

的图像.

因其中

,

所以样本

（1）试给出单边假设检验问题（2）求此检验的势函数【答案】（1）选形式

为

在A=0.05，0.2，0.3，…，0.9时的值，并画出

为检验统计量，其值愈大愈倾向于拒绝注意到

在

当

c=5

时时

，

所以，该检验问题的拒绝域

，从而第一类错误概率

为

当

c=6

时

，

因此，该检验问题的拒绝域为

（2）势函数的计算公式为：

则

时的势计算如下表：

表

势函数图如图:

图

3． 掷三颗骰子，求以下事件的概率：

（1）所得的最大点数小于等于5； （2）所得的最大点数等于5. 【答案】这情况相当于从为所得的最大点数，则

（1）（2）

4． 用一个仪表测量某一物理量9次，得样本均值

（2）求该物理量真值的置信水平为0.99的置信区间. 【答案】（1）此处

，的

置信区间为

从而的置信水平为0.95的置信区间[0.1487，0.4215] （2）当未知时，的查表得

置信区间为

，因而的置信水平为0.99的置信区间为

查表知

，样本标准差s=0.22.

中有返回地任取三个，所有可能为重复排列数

中有返回地任取三个，所有可能为

这是分若记Y

母，而“最大点数小于等于5”，相当于从

（1）测量标准差大小反映了测量仪表的精度，试求的置信水平为0.95的置信区间；

5． 先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ），则再抛一次硬币，试验停止，那么该试验的样本空间

【答案】

6． 设随机变量（X , Y ）的联合密度函数为

试求 （1）常数k ; （2）（（3）

【答案】（1）由

是什么？

）的联合分布函数;

解得k=12. （2）当

或

时, 有

; 而当

时,

所以

（3）

7． 设指数分布

中未知参数的先验分布为伽玛分布

的均值和方差分别为

现从先验信息得知：先验均由已知条件，可建立如下方

值为0.0002，先验标准差为0.01，试确定先验分布.

【答案】由于伽玛分布

程组

解之得

所以的先验分布为伽玛分布Ga （0.0004, 2）.

8． 口袋中有10个球，分别标有号码1到10, 现从中不返回地任取4个，记下取出球的号码，试求：

（1）最小号码为5的概率； （2）最大号码为5的概率.

【答案】从10个球中任取4个，共有10分成三组：

事件A 发生必须从第2组中取1个、从第3组中取3个，这共有事件B 发生必须从第2组中取1个、从第1组中取3个，这共有

解法二 记X 为取出球的最小号码，Y 为取出球的最大号码，则

种取法，故种取法，故

种等可能取法，这是分母，而分子有两种解法.

解法一 记A=“最小号码为5”，B=“最大号码为5”.为求事件A 与B 的概率，可将球号1到