当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

在

上单调增加,

不成立, 那么显然则对

存在

使得

使当 有

时, 有

证明:

.

由于

与单调性矛盾, 因此假设不成立.

显然M 是非空的, 下证

【答案】设用反证法, 假设不妨设

是连续函数, 则对于任意的

于是

2． 证明:设

则即证得

甶D 上无界的充要条件是存在

所以

【答案】充分性 因为这说明

在D 上无界.

在D 上无界, 所以

必要性 因为因此, 当取

时, 存在点

有这说明

3． 设f （x ）在[a, b]上二阶连续可导, 证明:

【答案】记

. 取

, 由微分中值定理, 有

t

即

于是

, 有

对上式两边, 分别关于x 1和x 2

在

和

上积分, 可得

即

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

进而有

这就是所谓的内插不等式

. 4． 设

为递减正项数列. 证明:级数

与

与

同时收敛, 同时发散.

和

. 有

由此知, 若又因为

由此知, 若于是

5． 求证含参量广义积分

【答案】任取（1）

当a>0时,

因为（2）当a=0时,

且充分小

, 使得

的任何有界闭子区间上一致收敛.

的有界闭子区间[a, b] （a

收敛, 所以广义积分

当B>A>0时, 有

①若

②若故当

则

因为广义积分时, 即

时,

关于

时,

所以广义积分

收敛, 所以存

, 当

时

在

[0, b]

在[a, b]上一致收敛.

与

收敛, 则

有上界, 故

也收敛.

收敛, 则

有上界, 从而

, 有上界, 即

有上界, 因此

收敛.

【答案】设正项级数的部分和分别是.

同时收敛, 同时发散.

综合①, ②讨论, 当

上一致收敛. 由（1） （2）可知, 广义积

的任何有界闭区间上一致收敛.

二、解答题

6． 计算下列定积分:

（1）

（2）

（3）

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

（4）（7）【答案】 （1

）

（

2）（3）（4）（5）（6）

; （5）（8）

（6）

;

.

（7）先求原函数, 再求积分值:

（8）

7． 讨论下列各函数列

（a ）

（b ）

（1）（2）（3）

【答案】 （1）设

则

所以（b ）因为的结论. 又

（2） （a ）

及

在[0, b]上均一致收敛.

在[0, b]

上一致收敛, 且每一项均连续, 故在[0, b]上一致收敛, 且每一项连续, 故

而

,

在所定义的区间上:

. 与

的一致收敛性；

是否有定理的条件与结论.

满足定理的条件, 进而有定理

满足定理的条件及结论.