2018年武汉科技大学840数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 计算第一型曲线积分
【答案】方法一 写出曲线的参数方程:
因为
所以
方法二 由对称性可知, 只需考虑沿上半圆周
的积分, 这时
所以
2． 求下列线积分:
（1）（2）
【答案】（1）令
,
.
A （0, 0, 0）B （1, 1, 1）
在全平面成立, 所以线积
分在全平面上与路径无关, 这时必有原函数存在. 为求被积表达式的原函数, 先求积分
所以原函数
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因而
（2）记被积表达式为
, 则的外微分为
所以线积分在全空间上与路径无关.
为求的原函数, 先求三个不定积分:
所以原函数为
因而
3． 已知f （x ）是
上的连续函数,
它在x=0的某个邻域内满足关系式
且f （x ）在点
x=l处可导, 求曲线y=f（x ）在点（1, f （
1））处的切线方程. 【答案】令sinx=t, 注意到当
时
,
且sinx 〜X , arcsint 〜t. 题设条件可改写为
又因为f （x ）在点x=l处可导, 所以
将（1）式代入改写了的题设条件（2）式, 得到
从而, 所求切线方程为y=2（x-1）.
4． 长10米的铁索下垂于矿井中, 已知铁索每米的质量为8千克, 问将此铁索提出地面需作多少功？
【答案】取铁索的一小段为微元, 则有
, 故
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二、证明题
5． 证明下列结论:
（1）
当和
（2）若
在点a 的邻域U （a ）内连续
有
且
【答案】（1）令使得
令
, 则
, 于是有
从这个式子中可解得
由于
,
所以
, 且易知
（2）由泰勒定理知
其中于是
令
6． 证明下面的方程在点, （0, 0, 0）附近惟一确定了隐函数z=f （x , y）并将f （x , y ）在点（0, 0）展开为带皮亚诺型余项的二阶泰勒公式.
【答案】令
则F （x , y , z ）在点（0, 0, 0）的邻域内连续,
时
, , 使
得, 其
中, 并
求
, 则.
f X ）, 则在[X, X+1]上对（利用拉格朗日定理, 当
时,
,
, 比较f （a+h）的两个展式有
,
取极限, 利用n+1阶导数的定义及在U （a ）内连续有
,