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一、选择题

1． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而

不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

.

则

也不是线性变换，

比如给

2． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D

【解析】

3． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

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D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B

分别为A ，B 的伴随矩阵，

即

4． 设

又

则（ ）•

【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得

即

5． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设

可逆，由于

的伴随矩阵为（ ）.

则分块矩

由②有

为空间的两组基，且

且

所以

，

二、分析计算题

6． 证明：数域K 上n 元列空间的任何子空间都是某个齐次线性方程组的解空间.

【答案】设W 为

的任一子空间，且维数为m ，

则

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若即W 为零子空问，则此

时W 为齐次

线性方程组若

（A 为K 上任意n 阶满秩方阵）的解空间.

（每个

，并令

都是n 元列向量）

个向量，

设

则取W 的一基

即A 是第i 行为

（n 元

的mxn 矩阵，且秩为m. 于是AX=0的基础解系含

得

B 是

矩阵.

列向量）为其一基础解系，则由从而 7． 设.

必存在非零向量【答案】

令

由r+s>n, 得

于是存在非零向量

线性表示，又可以由 8． 线性空间里

【答案】

所以存在非零向量

，

即

线性表示.

是nxr 矩阵，使得

既可由

为BX=0的一基础解系，其中

因此，W 是BX=0的解空间.

是nxs 矩阵，线性表示，又可由

因

为

证明：

若线性表示.

所

以

且

故

既可以由

的和是直和的充要条件是

按直和的定义，必要性显然

.

且有唯一分

解

中至少有一个向量a 可唯一地表示为这

如

果不是直和，

则

这样得

又因为子空间的交仍是子空间，所以有

即得a 的两个不同分解式，与a 分解式唯一性相矛盾.

9． 设T 是数域K 上n 维空间V 的一个线性变换，在某基下的矩阵为对角矩阵，又T 的全部互异的特征值. 证明：存在V 的线性变换

①②③④⑤其中

为特征值的特征子空间.

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为

使