当前位置：问答库＞考研试题

一、分析计算题

1． 设A 是n 阶方阵，则秩

当且仅当存在n 阶非零方阵曰，使得AB=BA=0.

结合如果秩

得，

秩

不妨令秩（A ）=r, 则存在可逆矩阵P 、Q 使

这样如取 2． 设

是一对称矩阵，且

存在

使

其中*表示

则有

【答案】由于存在非零方阵B , 使AB=0, 所以

且 AB=BA=0.

一个级数与A22相同的矩阵.

【答案】令

则可证T 满足题中要求，首先有

其中因为证毕.

3． 设K 为数域，式作成的集合. 证明

【答案】是又

若此，

是满射.

是单射，从而是双射，又由于

第 2 页，共 32 页

级数与相同.

是一个对称矩阵，故

分别为K 上偶次项系数全为零和奇次项系数全为零的全体多项都是多项式空间

的子空间，且二者同构.

的一个映射.

即所有

因

i

均为偶数，从而

i+1

均为奇数，于

是

都作成子空间显然，又易知

同理易知

因此，

4． 如果A 、B 都是n 级正定矩阵，证明：A+B也是正定矩阵.

【答案】因为A 、B 都是n 级正定矩阵，所以，对任意n 维非零实向量X , 都有

于是

又由A 、B 都是n 级实对称矩阵，知A+B也是实对称矩阵，所以A+B是正定矩阵.

5． 设A 是数域K 上的一个m ×n , 矩阵，B 是一个m 维非零列向量. 令

（1）证明：W 关于

的运算构成

的一个子空间；

（2）设线性方程组AX=B的增广矩阵的秩为r. 证明W 的维数（3）对于非齐次线性方程组

求W 的一个基. 【答案】（1）显然

因为存在

使

又

所以

即

此说明W 是

的子空间.

由题设，其解空间V 的维数

为

存在的解.

显然，这是W 形到V 的一个双射.

又

则

所以

且

可见W 与V 同构，从而有

第 3 页，共 32 页

（2）对线性方程

组

任取

所以

是线性方程组

使

这样，存在W 到V 的映射

，

存在

使

（3）由（2）W 与如下齐次线性方程组解空间同构.

该方程组的一个基础解系为：

其在之下原像

即为W 的一组基. 6． 设

【答案】（1）因为

即n=3时结论成立. 设n=k时命题成立. 当n=k+l时，

所以

（2）由（1）知

以上各式相加得

7． 设E 为n 阶单位矩阵，a ，b 为给定的n 维列向量，并有

证明：

是正定矩阵. 【答案】当

时，显然

所以有

正定.

证明

：

由哈密尔顿-凯莱定理知

令

第 4 页，共 32 页