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一、证明题

1． 设函数u （x , y ）在由封闭的光滑曲线L 所围的区域D 上具有二阶连续偏导数, 证明

其中

为u （x , y ）沿L 外法线方向n 的导数.

所以

由题意知,

在D 上具有连续导数, 故由格林公式知

因此

2． 区间上的连续函数如果在任何有理点为零, 证明:此函数恒为零.

【答案】利用连续函数的局部保号性. 设函数为在有理点列

使得

可以证明对于任意的无理点, 函数值都为零, 对于区间上的任意无理点

则由函数的连续性可知

即证得在任意的无理点处函数值都为零.

又由己知函数在任何有理点为零, 故此函数恒为零.

3． 证明:当且仅当存在各点互不相同的点列

【答案】充分性

若存在时, 有

当充分大时, 这说明P 0是E 的聚点.

必要性 若P 0是E 的聚点, 则对任给的含有E 中的点, 取出一个, 记为P 1.

取

则

中含有E 中的点, 取出一个, 记为P 2. 依此类推, 取

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【答案】由于

存

时, P 0是E 的聚点.

时,

则对任给的

总存在N , 使得n ＞N

含有的无穷多个点, 又

从而中含有E 中无穷多个点,

则

中

中必含有E 中的点, 取

则

这样继续下去, 得到一个各项互异的点列

中含有E 中的点, 取出一个, 记为P n. 易见

且

二、解答题

4． 在

平面上, 光滑曲线L 过（1, 0）点, 并且曲线L 上任意一点

为常数）.

处的切线斜

率与直线OP 的斜率之差等于ax （

（1）求曲线L 的方程； （2）如果L 与直线

所围成的平面图形的面积为8, 确定a 的值.

则由题设条件知

解此微分方程并

【答案】（1）设曲线L 的方程为注意到由y （1）=0可得曲线L 的方程为

（2） L 与直线

的交点为（2, 2a）, 于是

解得a=6.

5． 求圆的渐伸线（a , 0）与终点B

【答案】方法一:如图所示:

和连接两个端点:起点A

的直线段AB 所围成图形的面积, 并求渐伸线的弧长

.

图

所围图形面积为

方法二:

的面积

的面积

,

即得

方法三:用极坐标.

.

|的面积, 其中

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为曲线的极坐标方程,

为

向径0B 的极角当时,

又

>

于是

因为 6． 设

【答案】因为

求所以

所以弧长为

7． 按函数作图步骤, 作下列函数图像:

【答案】（1）函数轴交于以下几点:

由

得稳定点

,

,

, 由

表

1 的定义域为

, 得x=-2.

.

, 容易求得曲线与坐标

,

函数如图1所示

图1

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