2018年北京交通大学理学院872高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 称以下行列式为循环行列式. 证明:
»
其中
【答案】设为n 次原根且n 阶范德蒙德行列式，则易知
为n 次单位根.
，又设是第二行元素是
的
因为
，故
证明,
.
至少有一个维数为1或2的不变子空间.
取是
属于
则W 是
的
2． 设是n 维实线性空间V 的线性变换,
【答案】如果这里
此时, 如如由于
所以
则
则时显然. 当
一维不蛮子空间.
的特征值都是虚数,
设
为
线性无关.
时, 如果有实特征值, 则有实特征向量
是
的一个特征值,
而
的特征向量.
的1维不变子空间
事实上, 若不然, 不妨设
（1）
所以
从而
矛盾.
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取
又由（1）得
则
所以W
是
的不变子空间
设T
是
的一个正交变换, 记
则
于是
因此设
其中Ⅰ为V 的恒等变换
.
因为
由①,
③, ④即证 4． 在设
中，求由基
到基
的过渡矩阵，并求向量在所指基下的坐标.
即证①.
3．
设
V 是有限维欧氏空间, 内积记为
显然
和
都是
V 的子空间, 试证明:
【答案】先证
（1）
（2）
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（3
）
【答案】（1）
是单位向量组成的基. 的各分量恰是它在此基下的各个坐标，故
就是过渡矩阵的第i 列. 因此过渡矩阵是
设向量
在
下的坐标为
，则
经计算
（2
）
把就是
，在
和分别按列排成矩阵M 和N. 记过渡矩阵为A , A 的第i 列
用矩阵写出来，就是
. 于是
下的坐标向量, 即
再利用矩阵分块运算，就可写成
经计算得
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