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一、选择题

1． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

A. B. C. D. 【答案】D 【解析】

阶方阵，且秩

秩

有无穷多解 必有惟一解

必有非零解

秩A , 则线性方程组（ ）.

2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C ,

记

A. B. C. D. 【答案】B

【解析】由已知，有

于是

3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，

如

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E所以有

B （E-A ） =E

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则（ ）.

则为（ ）.

又C （E-A ）=A故

（B-C ）（E-A ）=E-A

结合E-A 可逆，得B-C=E.

4． 设行列式

为A.1 B.2 C.3 D.4

，则方程，

的根的个数为（ ）

【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

有两个根

5． 在n 维向量空间取出两个向量组, 它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

中选三个向量组

，从而否定A , 若选

若选故选B.

, ，从而否定C ,

二、分析计算题

6． 设V 是数域K 上一个n 维线性空间, 子空间; 令

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是V 的一个基, 用表示由生成的

（1）证明:（2）证明:

是V 的子空间；

下的矩阵A 为置换矩阵（即A 的每一行与每一列（3）设V 上的一个线性变换A 在基都只有一个元素是1, 其余元素全为0）. 证明:

与

都是的不变子空间.

【答案】（1）

. 所以是V 的非空子集

.

即证是V 的子空间. （2）令因为

取

可证它们线性无关.

事实上, 因为

所以

那么

即可由线性表示, 从而

再证

对

其中

则

此即

从而即所以

, 即证③

再由①, ②, ③即证

（3）

则

因为

由于A 是置换阵, 设

其中

为1, 2, ..., n 的一个置换. 因为

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①

② ③