2017年江西师范大学数学与信息科学学院823高等数学[专业硕士]考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 利用递推公式计算反常积分
【答案】当n ≥1时，故有
。
2． 汽车连同载重共5t , 在抛物线拱桥上行驶, 速度为21.6 km/h, 桥的跨度为10m , 拱的矢高为0.25m （如图所示）。求汽车越过桥顶时对桥的压力。
图
【答案】设立直角坐标系如图所示, 设抛物线拱桥方程为由于抛物线过点（5, 0.25）, 代入方程得
因此
汽车越过桥顶点时对桥的压力为
3． 从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（如图所示）。问留下的扇形的中心角取多大时, 做成的漏斗的容积最大?
【答案】如图, 设漏斗的高为h , 顶面的圆半径为r , 则漏斗的容积为
, 又
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故
令当
, 得
时,
, 故V 在
内单调增加; 当
为极大值点, 又驻点惟一, 从而时, 做成的漏斗的容积最大。
时,
, 故V 在
内单调减少。因此
也是最大值点, 即当
取
图
4． 求下列函数的导数：
【答案】（1）（2）（3）
（4）
（5）先在等式两端分别取对数，得
，于是
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，再在所得等式两端分别对x 求导，得
。
5． 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20m ，较长的底边和水面相齐。计算闸门的一侧所受的水压力。
【答案】如图建立坐标系，则过A 、B 两点的直线方程为的变化范围为[-20, 0]，对应小区间[y，y+dy]的面积近似值为因此水压力为
，取Y 为积分变量，Y
，γ表示水的密度，
图
6． 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性:
【答案】（1）解法一：后的级数
解法二：因（2）（3）因
而
也发散，由比较审敛法知原级数
而
由于级数发散。
发散，故各项乘
发散，故由极限形式的比较审敛法知原级数发散。
而
发散，由比较审敛法知原级数发散。 收敛，由极限形式的比较审敛法知原级数发散。
（4）因
而收敛，故由极限形式的比较审敛法知原级数
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