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一、证明题

1． 设总体X 的分布函数F （x ）是连续的,

试证:

（1）（2）

（3）和的协方差矩阵为

其中

成立.

且是来自均匀分布U （0, 1）总体的次序统计量:

为取自此总体的次序统计量,

设

【答案】（1）由分布函数F （x ）的单调性可知, （0, 1）总体的次序统计量；

（2）是来自均匀分布U （0, 1）总体的次序统计量, 所以, 故

（3）和的联合分布函数为:

又由分布函数F （x ）的连续性可知, F （X ）服从均匀分布U （0, 1）, 故而^是来自均匀分布U

则

所以,

结合（2）可知, 和的协方差矩阵为:

2 设分别自总体．

试证，对于任意常数a , b （a+b=l），达到最小.

【答案】由已知条件有

且

独立. 于是

故

这证明了又

是的无偏估计.

从而

因而当

时，V ar （Z ）达到最小，此时

这个结果表明，对来自方差相等（不论均值是否相等）的两个正态总体的容量为本，上述是

3． 设

的线性无偏估计类是来自

中方差最小的.

的样

该无偏估计为

中抽取容量为，的两独立样本其样本方差分别为

都是的无偏估计，并确定常数a , b 使Var （Z ）

若检验由拒绝域为

的样本，考虑如下假设检验问题

确定.

，n 最小应取多少？

（1）当n=20时求检验犯两类错误的概率； （2）如果要使得检验犯第二类错误的概率（3）证明：当

时，

【答案】（1）由定义知，犯第一类错误的概率为

这是因为在成立下，

而犯第二类错误的概率为

这是因为在成立下.

.

（2）若使犯第二类错误的概率满足

即

，或

，查表得：

由此给出

因而凡

最小应取34, 才能使检验犯第二类错误的概率

（3）在样本量为n 时，检验犯第一类错误的概率为

当

时.

，即

检验犯第二类错误的概率为

当

时，

即

才可实现，这一结论在一般场

注：从这个例子可以看出，要使得与都趋于0, 必须

合仍成立，即要使得与同时很小，必须样本量n 很大. 由于样本量n 很大在实际中常常是不可行的，故一般情况下人们不应要求与同时很小.

4． 设A ，B ，C 为三个事件，且P （A ）=a，P （B ）=2a，P （C ）=3a，P （AB ）=P（AC ）=P（BC ）=b.证明

：

【答案】由又因为所以得

5． 设随机变量

（1）（2）

【答案】（1）设所以当即

时,

的密度函数为

即（2）因为以

得

进一步由与

相互独立, 且都服从（0, 1）上的均匀分布, 试证明:

和

则

的密度函数为

则

所以

当

是相互独立的标准正态随机变量.

时,

, 所以

又因为

所