当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设计.

【答案】由于

这就证明了

，是的相合估计.

, 且X 与Y 独立,

独立同分布，

，证明：

是的相合估

2 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量．则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布

3． 设分别是UMVUE.

【答案】由于

满足

的特征函数, 由唯一性定理知

的UMVUE ，证明：对任意的（非零）常数a , b , 分别是

的UMVUE , 故

且对任意一个于是

因此

是

的UMVUE.

4． 设X 与Y 是独立同分布的随机变量, 且

试证:

【答案】

.

是

的

由判断准则知

5． 设

独立同分布，其共同的密度函数为

（1）证明：（2）计算

和

的均方误差并进行比较；

的估计中，故

最优.

这说明是则Y 的密

都是θ的无偏估计；

（3）证明：在均方误差意义下，在形如【答案】（1）先计算总体均值为θ的无偏估计. 又总体分布函数为度函数为

于是有

这表明

也是θ的无偏估计.

（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于

故有

又

从而

由于（3）对形如

因此在均方误差意义下，的估计有

优于

故

因此当估计中，

最优.

时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，在形如的

6． 设

为独立随机变量序列, 且

服从大数定律.

相互独立, 且服从大数定律.

由此可得马尔可夫条件

证明:

【答案】因为由马尔可夫大数定律知

7． 设

，试证

：

【答案】因为X 的密度函数为

又因为Y=In X 的可能取值范围为

单调增函数，其反函数为

且

是区间

上的严格

所以Y 的密度函数为

这正是

8． 证明:若

的密度函数. 则对

有

并由此写出与

其

中

【答案】由t 变量的结构知, t 变量可表示

为

且u 与v 独立, 从而有

由于

将两者代回可知, 在

时, 若r 为奇数, 则

若r 为偶数, 则

证明完成. 进一步, 当r=l时

,

（此时要

求

否则均值不存在）, 当r=2