2017年江西农业大学食品科学与工程学院701数学之概率论与数理统计考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设A ，B ，C 为三个事件，且P （A ）=a，P （B ）=2a，P （C ）=3a，P （AB ）=P（AC ）=P（BC ）=b.证明
：
【答案】由又因为所以得
进一步由
2． 设连续随机变量X 服从柯西分布, 其密度函数如下:
其中参数
（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若
【答案】（1）因为
时, 记Y=X, 试证
的密度函数为
y 的特征函数为
下证柯西分布的可加性, 设
, 由此得服从参数为
的特征函数
的柯西分布, 其密度函数为
若
与
相互独立, 则
的柯西分布的特征函数, 所以由唯一性定理知,
的柯西分布.
（2）当所以
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得
常记为
且利用此结果证明柯西分布的可加性；
, 但是X 与Y 不独立；
与同分布.
相互独立, 且服从同一柯西分布, 试证:
这正是参数为数为
时有
服从参
, ,
由于Y=X, 当然X 与Y 不独立 此题说明, 由（3
）设得:
即
3． 设
的特征函数为
不能推得X 与Y 独立.
, 由相互独立性
都服从参数为的柯西分布,
则特征函数为
与具有相同的特征函数, 由唯一性定理知它们具有相同的分布. 是来自
的样本，考虑如下假设检验问题
确定.
，n 最小应取多少？
若检验由拒绝域为
（1）当n=20时求检验犯两类错误的概率； （2）如果要使得检验犯第二类错误的概率（3）证明：当
时，
【答案】（1）由定义知，犯第一类错误的概率为
这是因为在成立下，
而犯第二类错误的概率为
这是因为在成立下.
.
（2）若使犯第二类错误的概率满足
即
，或
，查表得：
由此给出
因而凡
最小应取34, 才能使检验犯第二类错误的概率
（3）在样本量为n 时，检验犯第一类错误的概率为
当
时.
，即
检验犯第二类错误的概率为
当
时，
即
才可实现，这一结论在一般场
注：从这个例子可以看出，要使得与都趋于0, 必须行的，故一般情况下人们不应要求与同时很小.
合仍成立，即要使得与同时很小，必须样本量n 很大. 由于样本量n 很大在实际中常常是不可
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4． 设二维随机变量（X , Y ）服从单位圆内的均匀分布, 其联合密度函数为
试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关 【答案】先求边际密度函数
所以由又因为
和
知X 与Y 不独立.
在对称区间上是偶函数, 故
从而
所以X 与Y 不相关.
5． 设随机变量\服从柯西分布, 其密度函数为
试证:
当
时, 有
【答案】对任意的即
结论得证.
6． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式
（1）（2）（3）
【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.
（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率.
因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N-m+1次必取到白球，若记
为第k 次取到白球的概率，则有
且
即
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