2018年首都师范大学数学科学学院873数学基础[专业硕士]之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:
（1）可导的偶函数, 其导函数为奇函数； （2）可导的奇函数, 其导函数为偶函数； （3）可导的周期函数, 其导函数仍为周期函数. 【答案】（1）设f （x ）为偶函数, 则对任意
, 有
. 设
故
是奇函数.
, 有
. 设
, 则
故
是偶函数.
故
2． 证明:设则
在D 上一致收敛于f. 【答案】因为任意
故所以
3． 设
为开集,
, 存在
在, 当及
又
可微, 试证明:
时, 有
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则
（2）设f （x ）为奇函数, 则对任意
（3）设f （x ）是以T 为周期的周期函数. 对任意
也是以T 为周期的周期函数.
, 若对每一个正整数n
有
, 有
故
,
（1）任给
（2）存在. , 当时, 有
（这称为在可微点邻域内满足局部利普希茨条件） 【答案】（1）因为, 在其中
即
处可微, 依定义
, 当
时, 有
使
故当
（2）在（1）中取其中 4． 设
, 证明:
【答案】由拉格朗日中值定理知,
, 使得
因为上式右端大于0, 所以f （b ）-f （a ）>0 下面只需证明:令因为当
5． 对
【答案】令因此
9
故
6． 在[0, 1]上定义函数列
证明级数【答案】由
在[0, 1]上一致收敛, 但它不存在优级数. 定义可得
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时, 有
, 则
.
.
, 则
, 显然x=2是g （x ）在
当l , , 从而原不等式成立. 上的唯一驻点. 时 , 所以x=2是g （x ）的最大值点. 于是 应用拉格朗日中值定理, 试证:对x>0有 , 则 , 对 应用拉格朗日中值定理得 , 专注考研专业课13 年，提供海量考研优质文档！ 从而时, 有 及 , 有 恒成立. 所以对于任意 取 当n>N时, 对任意的 由柯两准则知, 级数 在[0, 1]上一致收敛. 若 存在优级数特别取, 有 而正项级数优级数 7． 设 【答案】因为于是 , 发散. 所以级数发散, 这与为优级数矛盾, 因此级数不存在 证明: 所以 （当 对）, 即 或 即 8． （1）变换x+y=u, y=uv把区域雅可比行列式 （ 2）取y 为因变量 , 解方程 【答案】（1）方法一把x , y 写成u , v 的函数x=u （1－v ）, y=uv, 所以 逆变换的雅可比行列式为 方法二 若变换不易解出x , y 或u , v 时, 我们只能用隐函数求偏导数方法来求雅可比行列式, 第 4 页，共 37 页 变为区域. 试求