2018年首都师范大学教育学院873数学基础[专业硕士]之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若函数f （x , y ）在有界闭区域D 上可积, 则f （x , y ）在D 上有界.
【答案】假设f 在D 上可积, 但在D 上无界, 那么, 对D 的任一分割个小区域上
无界. 当
时, 任取
, 令
由于f 在上无界, 从而存在从而
另一方面, 由f 在D 上可积知:存在当
时, T 的任一积分和
, 对任一D 的分割都满足
这与①式矛盾, 因此f 在D 上有界.
2． 证明:若函数f , g在区间[a, b]上可导, 且
【答案】令
于是, F （x ）在[a, b]上严格递增, 故当 3． 设f 是定义在R 上的函数, 且对任何证明对任何
【答案】由即则
, 这与题设
, 于是或者
, 都有
.
得
或者
. 若. 对任意
有
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,, 必在某
使得
,
, 则在
时, , 都有
, 即
内有.
则
若,
,
矛盾. 所以
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4． 证明:若
（1）（2）
【答案】（1）
（2）由（1）的运算可得
5．
证明:若
（1
）
存在且等于A ;
则
存在
内时
从而
6． 设
【答案】由
7． 证明:
（1）（2）【答案】（1）
. 因为
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, S
为包围区域V
的曲面的外侧, 则
（2） y 在b 的某邻域内, 存在有【答案】由条件（1）知:对任绐
又由条件（2）知:当y 在
b 的某邻域在①式中, 令
得 即
证明:
当
时,
有 ①
存在. 令
当
时,
代入得
所以在[0, 1]上连续并且有界,
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设界为M. 若记则
注意到攸敛, 利用优级数判别法可知, 在[0, 1]上一致收敛.
由逐项积分定理, 有
（2）
（2）的证明包含在（1）的证明之中.
8．
按柯西收敛准则叙述数列
（1）
【答案】数列
使得
（1）取故数列（2）取
（2）
. 对任意的正整数N , 取
发散.
对任意的正整数N , 取
则有
并且
故数列（3
）取故数列
发散.
对任意的正整数N , 取发散.
则有
则有
并且
发散的充要条件, 并用它证明下列数列{u}是发散的:
（3）
对任意的正整数N , 都存在正整
数
发散
的充要条件是:存在
二、解答题
9． 应用中值定理估计积分
【答案】由于据中值定理知:存在
使得
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的值.
在
上连续,