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一、计算题

1． 甲、乙两人进行象棋比赛，每局甲胜的概率为p ，乙胜的概率为连胜两局为止，求平均比赛局数.

【答案】设X 为决定胜负所需的局数，X 可取2, 3, …等正整数值，事件局时没有一人连胜两局，总是两人轮流胜，所以

公式，可得

又因为对任意的

，总有

故由E （X ）是pq 的严增函数可得

这表明:这种象棋比赛决定最终胜负的平均局数不超过3局，它在两选手势均力敌（p=l/2）时达到上界. 2． 经验表明:预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为

表示到第k-l 比赛进行到有一人

. 如今餐厅有50个座位，但预定给了52

. 因为“顾客来到

位顾客，问到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？

【答案】记X 为预定的52位顾客中不来就餐的顾客数，则

餐厅没有座位”相当于“52位顾客中最多1位顾客不来就餐”，所以所求概率为

3． 某工厂一个班组共有男工9人、女工5人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？

【答案】设事件A 为“3个代表中至少有一个女工”，则为“3个代表全为男工”，因为

所以

4． 如果二维随机变量（X , Y ）的联合分布函数为

试求X 和Y 各自的边际分布函数. 【答案】因为

所以X 和Y 各自的边际分布函数为

可见，这两个边际分布都是指数分布，但这两个分布对应的随机变量不相互独立.

5． 设二维随机变量

的联合密度函数为

求【答案】

.

的非零区域与

的交集为图阴影部分，所以

图

6． 设随机变量X , Y 独立同分布，在以下情况下求随机变量

（1）X 服从p=0.5的（0-1）分布. （2）X 服从几何分布，即

【答案】（1）因为X 与Y 的可能取值均为0或1，所以或1,

因此

的分布列.

.

的可能取值也为0

（2）因为X 服从几何分布，所以

由此得

7． 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，单位为小时. 它的密度函数为

（1）确定常数c ;

（2）写出X 的分布函数；

（3）试求在20分钟内完成一道作业的概率； （4）试求10分钟以上完成一道作业的概率. 【答案】（1）因为由此解得c=21. （2）当x<0时

，当当

时

，时，

；

，

所以X 的分布函数为

（3）所求概率为（4）所求概率为

.

8． 某电工器材厂生产一种保险丝，测量其溶化时间，依通常情况方差为400, 今从某天产品中抽取容量为25的样本，

测量其熔化时间并计算得布）？

【答案】本题可归结为关于正态总体方差的双恻检验问题当

时，查表知，

，

，假定熔化时间服从正态分

，

问这天保险丝熔化时间的方差与通常有无显著差异（取

因此拒绝域为