2018年华南农业大学农学院314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设
是来自正态总体
的一个样本，对
考虑如下三个估计
（1）哪一个是
的无偏估计？
，故有
这说明仅有
是
的无偏估计，而
与
是
的有偏估计.
而
，这给出
于是
显然
，所以
的均方误差最小.
（2）我们知道，估计的均方误差是估计的方差加上偏差的平方，即
，从而
（2）哪一个均方误差最小？ 【答案】（1）由于
2． 对一批产品进行检查，如查到第a 件全为合格品，就认为这批产品合格；若在前a 件中发现不合格品即停止检查，且认为这批产品不合格. 设产品的数量很大，可认为每次查到不合格品的概率都是P. 问每批产品平均要查多少件？
【答案】设每批要查X 件，记q=l-p，则X 的分布列为
表
1
所以
3． 设A ，B ，C 为三事件，试表示下列事件:
（1）A ，B ，C 都发生或都不发生: （2）A ，B ，C 中不多于一个发生； （3）A , B ，C 中不多于两个发生； （4）A , B ，C 中至少有两个发生. 【答案】 （1）（2）（3）（4）
_
4． 一批产品的不合格品率为0.02, 现从中任取40件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品. 分别用以下方法求拒收的概率:（1）用二项分布作精确计算；（2）用泊松分布作近似计算.
【答案】记X 为抽取的40件产品中的不合格品数，则
（1）拒收的概率为
（2）因为
. 而“拒收”
就相当于
，所以用泊松分布作近似计算，可得近似值为
可见近似值与精确值相差0.0007, 近似效果较好.
5． 设X 和Y 相互独立, X 服从参数为的泊松分布, 其分布律为
其中
律.
【答案】Z 的可能取值为
且X 与Y 相互独立, 则有
故Z 的概率分布如下
表1
,
的分布律为
, 其中
, 求
的分布
6． 为了估计湖中有多少条鱼，从中捞出1000条，标上记号后放回湖中，然后再捞出150条鱼发现其中有10条鱼有记号. 问湖中有多少条鱼，才能使150条鱼中出现10条带记号的鱼的概率最大？
【答案】设第二次捞出的标有记号的鱼的数目为X ，则X 服从超几何分布，150条鱼中出现10条带记号的鱼的概率
其中，N 表示湖中的鱼的条数，是未知参数. 似然函数为
考察相连两项比值
当且仅当N ＜15000时，因此，只有在N=15000时，计.
7． 设分布函数列设服从
【答案】对任意的对取定的N , 存在致的, 因而存在
因此有
；当且仅当N>15000时，，
达到最大. 这里的N=15000即为湖中鱼数的最大似然估
弱收敛于分布函数且
和都是连续、严格单调函数，又
关于x 是一
上的均匀分布，试证:
存在充分大的M ，使有使有时，任对
对取定的h ，因为
有
对取定的M , 可选取正整数k 和N , 使有
使当