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一、计算题

1． 经验表明:预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为

. 如今餐厅有50个座位，但预定给了52

. 因为“顾客来到

2． 某合金钢的抗拉强度y 与碳含量x 有关，现有92炉钢样数据，从中算得

试用两个标准分别建立一元回归方程.

【答案】 （1）用残差平方和最小的标准，可得两回归系数为

（2）用到回归直线垂直距离平方和最小的标准，可得两回归系数为

比较两种标准下的结果，可见与之间相差较大，这是因其相关系数r=0.8902与1有较大差距.

3． 若事件

位顾客，问到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？

【答案】记X 为预定的52位顾客中不来就餐的顾客数，则

餐厅没有座位”相当于“52位顾客中最多1位顾客不来就餐”，所以所求概率为

，是否一定有？

【答案】不能，因为|发生有多种情况，如

（1）A ，B ，C 中两两不相容（见图1）;

（2）A ，B ，C 中有两个相容，但与第三个都不相容（见图2）; （3）A 与B 相容，A 与C 相容，但B 与C 不相容（见图3）; （4）A ，B ，C 中两两相容，但其交不含任一样本点（见图4）

.

图1 图2 图3 图4

4． 设随机变量X 仅在区间上取值，试证:

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为

同理可证:

. 由上题的结论知

注:此命题表明有界随机变量的数学期望和方差总是存在的.

5． 设以下所涉及的数学期望均存在，试证:

（1）（2）（3）

【答案】（1）由（2）因为（3）

6． 设

【答案】

，试证

.

.

又由（1）知

知

所以有

7． 某单位有一台电话总机和200台电话分机, 在同一时刻每台分机以0.05的概率使用外, 且每台分级使用外线与否是相互独立的, 试用中心极限定理估计该单位总机需多少条外线, 才能保证每台分机以90%的概率使用外线.

【答案】设同时使用紫外线的分机数为X ,

设此单定安装的外线共有N 条, 则应用中心极限定理

又查表知

则

故至少要安装14条外线.

即

8． 设曲线函数形式为出；若不能，说明理由.

【答案】能. 令

，问能否找到一个变换将之化为一元线性回归的形式，若能，试给

，则变换后的函数形式为

.

二、证明题

9． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明:

【答案】由于其中

代回原式即得证.

10．设

也是一个分布函数.

【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因

为

于是

（2）有界性. 对任意的X ，有

都是分布函数，故

当

时，

有

都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明

:

存在，所以级数

绝对收敛，从而有

且

（3）右连续性.

11．设总体单随机样本. 证明:

（1）

是

的无偏估计量但

不是是

的无偏估计量. 的无偏估计量. , 故

是来自总体的简

（即X 服从于参数为的泊松分布）, 其中

（2）样本函数

【答案】 （1）由题意知, 又则

相互独立, 且