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一、计算题

1． 设随机变量X 与Y 独立同分布，都服从参数为的指数分布. 令

求

【答案】此题有二种计算方法，现分述如下: 方法一:直接按照二元函数期望公式计算

方法二:利用条件期望计算 在

给定时，

是关于Y 的函数

.

2． 将3个乒乓球放入4个杯子中, 求杯子中球的最大个数为1, 2, 3的概率.

【答案】设事件

表示“杯中球的最多个数为”, 3个球放入4个杯子中共有

种, 即

中不同方法,

表示“4个杯子中有3个杯子各有一球”, 则不同放法共有

表示“4个杯子中有一个杯子有2个球, 有个杯子有1个球”, 则共有

种不同放法, 即

中放法,

；

表示“3个球都放入了一个杯子中”, 则共有即

3． 设随机变量X 与Y 独立同分布，且

【答案】因为

所以

试求

4． 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2, 乙的命中率为0.5, 以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求P （X ≤Y ）

【答案】因为当

:时，有

所以（X ，Y ）的联合分布列为

表

由此得 5． 设

求X 和Y 的相关系数； 证明:

【答案】

由题意可知,

的概率分布如下:

表

证明:X 和Y 独立的充要条件为A 与B 独立.

且

记

.

由

X 和Y 相互独立

6．

设

是来自韦布尔分布

的样本（已

知），试给出一个充分统计量.

【答案】样本的联合密度函数为

若令

取

由因子分解定理，

是的充分统计量.

试

7． 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2, 方差分别为1和4, 而它们的相关系数为根据切比雪夫不等式，估计

【答案】因为

所以

8． 设

来自伽玛分布族

的一个样本，寻求

的上限.

的充分统计量.

【答案】样本的联合密度函数为:

由因子分解定理，

或

是充分统计量.

二、证明题

9． 设总体X 的均值为凸线性无偏估计量. 证明:

【答案】由于其中

于是

而

故有

从而

方差为与

的相关系数为

是来自该总体的一个样本，

为的任一

为的线性无偏估计量，故