2018年中央财经大学财政学院396经济类联考综合能力之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设
来自贝塔分布族
的一个样本，寻求
的充分统计量.
【答案】样本的联合密度函数为:
由因子分解定理，
是充分统计量.
以X 表示在随意抽查的100
2． 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.
（1）写出X 的分布列；
（2）求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值. 【答案】（1）X 服从
的二项分布
即
（2）利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有
这表明:被盗索赔户在14与30户之间的概率近似为
3． 设随机变量X 服从区间与Y 不相关，即X 与Y 无线性关系.
【答案】因为即X 与Y 不相关.
4． 甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军. 而每次比赛双方取胜的概率都是1/2, 现假定甲、乙两人先比，试求各人得冠军的概率.
【答案】记事件A ，B , C 分别为“甲、乙、丙获冠军”，事件
则X 与Y 有函数关系. 试证:X
上的均匀分布，
所以
分别为“第i 局中甲、
乙、丙获胜”. 则
因为甲、乙两人所处地位是对称的，所以由此又可得
5．
某厂决定按过去生产状况对月生产额最高的X （单位:kg ）服从正态分布的得
因此可将高产奖发放标准定在生产额为4099kg.
6． 若总体X 服从如下柯西分布:
而
是它的一个样本，试求的估计量.
的估计量.
最小，则得
，很难说是
的一个合适的估计量，
.
即甲得冠军的概率5/14，乙得冠军的概率5/14, 丙得冠军的概率2/7.
的工人发放高产奖. 已知过去每人每月生产额
其中
，为分布
及
可
，试问高产奖发放标准应把生产额定为多少？
【答案】根据题意知，求满足p （x>k）=0.05的k ，即
分位数. 又记为标准正态分布N （0, 1）的p 分位数，则由
【答案】由于柯西分布不存在数学期望，因此不能用一阶矩法估计得到若用最小二乘法，即使
因为这时无偏性、有效性都失去意义，而且与同分布，
说明也没有起到汇集的信息的作用，因而，这个估计量的相合性也就无从谈起. 因此，我们转而讨论的最大似然估计. 其似然函数为
其对数似然函数为
对求导可得对数似然方程为
这个方程只能求数值解，比如用牛顿迭代法. 由于是总体分布的中位数，因此可以用样本中位数作为迭代的初值. 所求得的这个数值解即为的最大似然估计. 从似然角度看，该方法得到的估
计要比样本中位数估计更好些.
7． 任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率.
【答案】记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，其出现是等可能的， 则此题所涉及的样本空间含有四个等可能样本点:若令事件A 表示“取出的两个正整数之和为偶数”，
则
，从而P （A ）=1/2.
8． 口袋中有5个白球，8个黑球，从中不放回地一个接一个取出3个. 如果第i 次取出的是白球，则令
，否则令
的联合分布列.
，求
. 的联合分布列；
（1）（2）【答案】⑴
将以上计算结果列表为
表
1
（2）