2018年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 在伯努利试验中，事件A 出现的概率为p , 令
证明:【答案】
服从大数定律.
为同分布随机变量序列，其共同分布为
表
且
从而
又当
时,
与独立，所以
又因为
于是有
即马尔可夫条件成立，故
服从大数定律.
在区间
上服从均匀分布.
代入函数
2． 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布. 证明:
【答案】随机变量X 服从参数为2的指数分布, 则X 的概率密度为求得到所以当当
的分布, 关键是确定分段点. 将X 的概率密度函数的分段点同时利用函数
的图形知它的最大值是
是不可能事件, 所以
是Y 的分布函数的分段点. 时, 时, 则
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下面求Y 的分布函数
当时,
综上所述, 得到Y 的分布函数为上式恰好是区间即证明了
3． 对于组合数
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证. （2）因为
上服从均匀分布的随机变量的分布函数, 在区间（0, 1）上服从均匀分布.
，证明:
；
（3）因为
（4）因为
所以
（5）设计如下一个抽样模型:一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个，
则事件=“取出的n 个产品中有k 个不合格品”的概率为
由诸互不相容，且
得
把分母移至另一侧即得结论.
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注:还有另一种证法:下述等式两端分别展开
可得
比较上式两端的系数即可得
（6）在（5）中令
，则得
再利用（1）的结果即可得证.
4． 设随机变量
【答案】若随机变量而
这就证明了
5． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明:
【答案】
将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得
第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得
这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.
6． 设
为独立随机变量序列，且
证明:
服从大数定律.
相互独立，且
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证明
则
也服从
从而
【答案】因为由此可得马尔可夫条件
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