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一、选择题

1． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有

由上述知因此

2． 设行列式

线性相关，所以线性相关，故选A.

于是

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

则

线性无关，

均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】由题设知所以

4． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

【答案】C 【解析】若当C.

5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

使AB=0, 则（ ）

.

由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

由AB=0，左乘

可得

矛盾，从而否定A ，故选

时，

分别为A ，B 的伴随矩阵，

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

即

二、分析计算题

6． 设V 为欧氏空间，

若

则

证明：

是V 的一个线性函数；

若V 是n 维，则对其任一线性函数都存在唯一的向量使

【答案】是V 到实数域R 的映射显然. 又设

则由内积性质知：

故②S 若从而

③任取V 的_标准正交基则对V 中任意向量故

即

7． 设根，则

又的唯一性显然. 均为有理数，且也是f （x ）的k 重根.

在Q 上不可约（

是无理数且

，且又与f （x ）不互素（因为二者都有根）

是V 的一个线性函数. 即

. 或

故得证.

令

由于f （x ）是线性函数而

是标准正交基，

为无理数，证明：若有理系数多项式f （x ）的k 重

【答案】由于显然有理数域Q 上多项式

）