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一、解答题

1． 一输送蒸汽的管道如图（a ）所示，若己知该管道工作时的温度较安装时的温度相差T ℃，管道的抗弯刚度为El ，线膨胀系数为a ，试求管道工作时的内力。

图

【答案】从管道的安装形式看，两端固定是三次超静定问题，但由于结构对称，载荷对称，因此在对称的截面处 切开，将只有对称的轴力N 和弯矩M 未知，反对称的剪力Q=0，从而降为二次

超静定问题，其相当系统如图 （b ）所示。根据对称条件，对称截面的转角和水平位移应为零。即设

。

，则力法正则方程为

作单位力内力图如图（c ）和图（d ）所示。由单位力矩由单位水平力

引起各段杆的弯矩分别为

在四分之一圆周段内

在长度为R 的直线段内

在长度为20R 的直线段内

所以

为温度变化引起对称截面的转角，由于温度变化不会引起对称截面处的偏转，所以

为温度变化引起对称截面在N 方向的位移，由于温度膨胀方向与N 方向相反，故为负值

代入正则方程，有

引起各段杆的弯矩均为1，即;

。

联立求解，可得

，最后，用M ，N 值分别与单位力图（c ）（d ）相乘再叠加，即可得最后的内力图如图（e ）所示。

2． 圆形曲杆与直杆铰接，受拉力2F 作用（如图（a ）所示），两杆材料相同，直杆的抗拉刚度为2EA ， 曲杆的抗弯刚度为EI ，试求圆形曲杆的最大弯矩，并画出曲杆的弯矩图。

图

【答案】这是一次超静定问题。由于结构对称，故取其一半研究，如图（b ）所示。设直杆为多余约束，以未知的轴力X 作为多余约束力，则变形几何条件为对曲杆

对直杆

由卡氏定理

可得

，则曲杆各截面的弯矩为

曲杆的弯矩图如图（c ）所示，其中

。