2017年山东大学经济研究院432统计学[专业学位]之概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、证明题
1 设T 是g ，．（θ）的UMVUE , 是g （θ）的另一个无偏估计证明：若
【答案】因为T 是g （θ）的UMVUE ，即
即
2． 设
【答案】若
, 证明:且
服从贝塔分布, 并指出其参数.
, 则X 的密度函数为
由
在
上是严格单调增函数, 其反函数
为
的无偏估计，故其差
由判断准则知
，则这说明
是0的无偏估计，
Z 的密度函数为
整理得
这说明Z 服从贝塔分布
3． 证明
：
【答案】不妨设另一方面，还有
综合上述两方面，可得
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, 其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半. 则
4． 设罐中有b 个黑球、r 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入同色的球. 试证：第k 次取到黑球的概率为
【答案】
设事件设
则显然有
则由全概率公式得
下用归纳法证明.
个
为“罐中有b 个黑球、r 个红球时，第i 次取到是黑球”，
记
把k 次取球分为两段：第1次取球与后k-1次取球. 当第1次取到黑球时，罐中增加c 个黑球，这时从原罐中第k 次取到黑球等价于从新罐（含b+c个黑球，r 个红球）中第k-1次取到黑球，故有
类似有
所以代入（1）式得
由归纳法知结论成立.
5． 设
为来自指数分布
的样本，
为来自指数分布
的样本，且两组
样本独立，其中
（1）求假设
是未知的正参数.
的似然比检验；
（2）证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值（3）求统计量
在原假设成立下的分布.
【答案】样本的联合密度函数为
参数空间分别为
下参数的最大似然估计
为
则似然比统计量为
而
在
由微分法容易求出在
下参数的最大似然估计
为
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由求导可知，函数为
或者
这就证明了（2）的结论.
为先减后増的单峰函数，故此似然比检验拒绝域可等价写
注意到指数分布、伽玛分布与卡方分布间的关系，可得
再注意到
诸
与
诸
6． 设连续随机变量X 的密度函数为p （X ）, 试证:p （x ）关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.
【答案】记X 的特征函数为为
这表明X 与-X 有相同的特征函数,
从而X 与-X 有相同的密度函数, 而-X 的密度函数为关于原点是对称的.
再证必要性, 若
, 则X 与-X 有相同的密度函数, 所以X 与-X 有相同的特征函数,
故
是实的偶函数.
由于-X 的特征函数为所以
7． 设二维随机向量（X , Y ）服从二维正态分布, 且
证明:对任意正常数a , b 有
【答案】记
则
由条件知p<0, 所以
由此得
令
则
所以
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间的独立性，在原假
设成立下，有如下抽样分布
：
先证充分性. 若是实的偶函数, 则又因
所以得, 即